Question

已知點(diǎn)M（x，y）滿(mǎn)足

x≥1 x-y+1≥0 2x-y-2≤0

，則

2x+y

2x+6

的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線(xiàn)性規(guī)劃

專(zhuān)題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：將目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，利用兩點(diǎn)間的斜率公式，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答： 解：設(shè)z=

2x+y

2x+6

，
則z=

2x+6+y-6

2x+6

=1+

y-6

2x+6

=1+

1

2

•

y-6

x+3

，
設(shè)k=

y-6

x+3

，
則z=1+

1

2

k，
只需求出k的最大值即可，
k=

y-6

x+3

的幾何意義為動(dòng)點(diǎn)P（x，y）與定點(diǎn)（-3，6）連線(xiàn)的斜率．
作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
由圖象可知當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)A時(shí)，直線(xiàn)AB的斜率k最大．
由

x-y+1=0 2x-y-2=0

，解得

x=3 y=4

，
即A（3，4），此時(shí)k=

y-6

x+3

=

4-6

3+3

=-

2

6

=-

1

3

，
∴z=1+

1

2

k=1+

1

2

×(-

1

3

)=1-

1

6

=

5

6

，
故答案為：

5

6

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線(xiàn)性規(guī)劃的應(yīng)用，以及分式的化簡(jiǎn)，利用兩點(diǎn)間的斜率公式是解決本題的關(guān)鍵，本題綜合性較強(qiáng)，難度較大．