Question

【題目】如圖，矩形為一張臺(tái)球桌面，，.從點(diǎn)擊出一個(gè)球，其可無(wú)限次經(jīng)臺(tái)球桌四邊反彈運(yùn)行.已知該球經(jīng)過(guò)矩形的中心.

（1）試求所有整點(diǎn) 的個(gè)數(shù)，使得該球可以經(jīng)過(guò)點(diǎn)；

（2）若該球在上述、兩點(diǎn)間的最短路徑長(zhǎng)為，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）將矩形及點(diǎn)、整體向右、上方向翻轉(zhuǎn)復(fù)制，得到一系列矩形.

設(shè)第列、第行矩形中、的像分別為、.則

；

，

，

，

.

設(shè)、的斜率分別為、.則

， ①

，，

，.

故經(jīng)過(guò)點(diǎn)的球可以經(jīng)過(guò)點(diǎn)

存在、、、，使得. ②

為使式②成立，必須， .

故.

（2）下面利用式②驗(yàn)證球可以經(jīng)過(guò)上述點(diǎn)，并計(jì)算.

對(duì)前五個(gè)點(diǎn)，有，且，

，.

對(duì)中間四個(gè)點(diǎn)，有，故球在、之間必須經(jīng)臺(tái)球桌四邊之一反彈，有

，

.

從而，，

.

對(duì)，若球在某一矩形內(nèi)直接經(jīng)過(guò)、（不必經(jīng)矩形邊反彈），則.

此時(shí)，由式①知，且.但當(dāng)時(shí)，，矛盾.

若球在、之間只反彈一次，則球經(jīng)過(guò)某兩個(gè)相鄰的矩形中的、，有，但由式①有，矛盾.

故球在、之間必須經(jīng)臺(tái)球桌四邊反彈至少兩次，有

.

從而，.

綜上，所求整點(diǎn)有11個(gè)，且.