【題目】在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.

(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程與直線的普通方程;

(2)直線與曲線交于兩點(diǎn),記弦的中點(diǎn)為,點(diǎn),求.

【答案】(1)曲線C的直角坐標(biāo)方程為,直線的普通方程為;(2)

【解析】

(1)由直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化,可直接寫(xiě)出曲線的直角坐標(biāo)方程;由直線的參數(shù)方程消去參數(shù),即可得到直線的普通方程;

(2)將直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程,得到關(guān)于的一元二次方程,利用韋達(dá)定理,以及弦長(zhǎng)公式即可求解.

(1)由,

從而有,即

直線的普通方程為

(2)易知點(diǎn)在直線上,

則直線的參數(shù)方程為為參數(shù)),

將其代入曲線的直角坐標(biāo)方程可得,所以

所以

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(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程

(2)若點(diǎn)P,Q在拋物線C上,且拋物線C在點(diǎn)P,Q處的切線交于點(diǎn)S,記直線 MP,MQ的斜率分別為k1,k2,且滿足,當(dāng)P,Q在C上運(yùn)動(dòng)時(shí),△PQS的面積是否為定值?若是,求出△PQS的面積;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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1)依據(jù)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出,可用線性回歸模型擬合的關(guān)系,請(qǐng)計(jì)算相關(guān)系數(shù)并加以說(shuō)明(若,則線性相關(guān)程度很高,可用線性回歸模型擬合);

2)求關(guān)于的回歸方程,并預(yù)測(cè)液體肥料每畝使用量為千克時(shí),西紅柿畝產(chǎn)量的增加量約為多少?

附:相關(guān)系數(shù)公式,回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為:.

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【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,,上頂點(diǎn)為,離心率為,且

(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(Ⅱ)已知為坐標(biāo)原點(diǎn),過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于,兩點(diǎn),點(diǎn)在橢圓上,若,試判斷是否為定值?若是,求出該定值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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【題目】如圖,矩形為一張臺(tái)球桌面,.從點(diǎn)擊出一個(gè)球,其可無(wú)限次經(jīng)臺(tái)球桌四邊反彈運(yùn)行.已知該球經(jīng)過(guò)矩形的中心.

(1)試求所有整點(diǎn) 的個(gè)數(shù),使得該球可以經(jīng)過(guò)點(diǎn);

(2)若該球在上述兩點(diǎn)間的最短路徑長(zhǎng)為,求的最大值.

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(Ⅰ)求這100人睡眠時(shí)間的平均數(shù)(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替,結(jié)果精確到個(gè)位);

(Ⅱ)由直方圖可以認(rèn)為,人的睡眠時(shí)間近似服從正態(tài)分布,其中近似地等于樣本平均數(shù),近似地等于樣本方差,.假設(shè)該轄區(qū)內(nèi)這一年齡層次共有10000人,試估計(jì)該人群中一周睡眠時(shí)間位于區(qū)間(39.2,50.8)的人數(shù).

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