Question

7．已知A={（x，y）|y=ax+b}，B={（x，y）|y=3x²+15}，C={（x，y）|x²+y²+12y≤180}，問是否存在a，b∈R使得下列兩個(gè)命題同時(shí)成立：
（1）A∩B≠∅；
（2）（a，b）∈C．

Answer 1

分析 由集合A和B交集不為空集，可聯(lián)立兩集合中的兩函數(shù)解析式，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，此方程有解，得到根據(jù)的判別式大于等于0，列出關(guān)于a與b的不等式，記作①，又（a，b）屬于集合C，把（a，b）代入集合C中的不等式得到關(guān)于a與b的不等式，記作②，由不等式的性質(zhì)得到b²≤0，進(jìn)而得到b=0，把b的值代入①和②可求出a的值，進(jìn)而求出A∩B≠φ 和（a，b）∈C同時(shí)成立時(shí)a與b的值．

解答 解：聯(lián)立方程得方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=ax+b}\\{y=3{x}^{2}+15}\end{array}\right.$，消去y得方程3x²-ax+15-b=0．
要滿足條件（1），需要△=a²-12（15-b）≥0，①
要滿足條件（2），需要a²+b²+12b≤180，即a²≤180-12b-b²，②
聯(lián)立①②得：180-12b-b²≥12（15-b），即b²≤0，
∴b=0，
代入①，②得180≤a²≤180，
∴a²=180，∴a=±$6\sqrt{5}$，
∴當(dāng)a=±6$\sqrt{5}$且b=0時(shí)，A∩B≠∅和（a，b）∈C同時(shí)成立．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，元素與集合的關(guān)系，以及交集、空集的意義，解題時(shí)注意運(yùn)用完全平方式為非負(fù)數(shù)，以及不等式的基本性質(zhì)來解決問題，是中檔題．