Question

16．已知函數(shù)f（x）=1+2sin$\frac{x}{3}$（cos$\frac{x}{3}$-sin$\frac{x}{3}$）．
（1）在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，求函數(shù)f（C）的最大值，并求出此時(shí)C的值；
（2）若f（C-$\frac{π}{8}$）=$\sqrt{2}$，且b²=ac，求cosB的值．

Answer 1

分析 通過兩角和與差的三角函數(shù)化簡已知條件．
（1）利用三角函數(shù)的最值直接求解函數(shù)的最值以及C的大�。�
（2）通過f（C-$\frac{π}{8}$）=$\sqrt{2}$，求出C的值，推出三角形是直角三角形，然后即可求解cosB的值．

解答 解：函數(shù)f（x）=1+2sin$\frac{x}{3}$（cos$\frac{x}{3}$-sin$\frac{x}{3}$）=1+2sin$\frac{x}{3}$cos$\frac{x}{3}$-2sin²$\frac{x}{3}$=sin$\frac{2x}{3}$+cos$\frac{2x}{3}$=$\sqrt{2}$sin（$\frac{2x}{3}+\frac{π}{4}$）．
（1）在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，函數(shù)f（C）=$\sqrt{2}$sin（$\frac{2C}{3}+\frac{π}{4}$）$≤\sqrt{2}$．此時(shí)$\frac{2C}{3}+\frac{π}{4}=\frac{π}{2}$，解得C=$\frac{3π}{8}$．
（2）f（C-$\frac{π}{8}$）=$\sqrt{2}$，可得$\sqrt{2}$sin（$\frac{2C-\frac{π}{4}}{3}+\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$．即：sin（$\frac{2C}{3}+\frac{π}{6}$）=1，$\frac{2C}{3}+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，解得C=$\frac{π}{2}$．
∵b²=ac，c²-a²=ac，即$\frac{a}{c}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
cosB=$\frac{a}{c}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，三角函數(shù)的最值以及三角形的判斷，考查計(jì)算能力．