Question

7．已知$\overrightarrow{{e}_{1}}$、$\overrightarrow{{e}_{2}}$是夾角為$\frac{π}{3}$的兩個單位向量，$\overrightarrow{a}}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$+3$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow$=2$\overrightarrow{{e}_{2}}$，求$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow$方向上的投影．

Answer 1

分析 先根據(jù)向量的數(shù)量積運算求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=3，根據(jù)向量的模的運算求出|$\overrightarrow$|=2，再根據(jù)向量$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow$方向上的投影為$|\overrightarrow{a}|$cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow|}$，問題得以解決．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$+3$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow$=2$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{{e}_{1}}$、$\overrightarrow{{e}_{2}}$是夾角為$\frac{π}{3}$的兩個單位向量，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=（$\overrightarrow{{e}_{1}}$+3$\overrightarrow{{e}_{2}}$）•2$\overrightarrow{{e}_{2}}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$$\overrightarrow{{e}_{2}}$+2（$\overrightarrow{{e}_{2}}$）²=2$|\overrightarrow{{e}_{1}}|$•$|\overrightarrow{{e}_{2}}|$cos$\frac{π}{3}$+2=1+2=3，|$\overrightarrow$|=2，
設向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角為θ，
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}$，
∴$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow$方向上的投影為$|\overrightarrow{a}|$cosθ=$|\overrightarrow{a}|$•$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow|}$=$\frac{3}{2}$

點評 本題考查向量數(shù)量積的運算和向量的夾角公式以及向量的投影，屬于中檔題．