Question

10．（理）設函數(shù)f（x）=ae^xlnx+$\frac{b{e}^{x-1}}{x}$，
（1）求導函數(shù)f′（x）
（2）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=e（x-1）+2求a，b．

Answer 1

分析 （1）直接利用導數(shù)的運算法則及基本初等函數(shù)的導數(shù)公式求得導函數(shù)f′（x）；
（2）由于切點既在函數(shù)曲線上，又在切線上，把x=1代入切線方程求得切點的縱坐標，再代入原函數(shù)求得b的值，然后由f（x）在x=1時的導數(shù)值求得a．

解答 解：（1）由f（x）=ae^xlnx+$\frac{b{e}^{x-1}}{x}$，
得${f}^{′}（x）=（a{e}^{x}lnx）^{′}+（\frac{b{e}^{x-1}}{x}）^{′}$
=$a{e}^{x}lnx+\frac{a{e}^{x}}{x}+\frac{b{e}^{x-1}x-b{e}^{x-1}}{{x}^{2}}$；
（2）由于切點既在函數(shù)曲線上，又在切線上，
將x=1代入切線方程得：y=2．
將x=1代入函數(shù)f（x）得：f（1）=b．
∴b=2．
將x=1代入導函數(shù)，
則f'（1）=ae=e．
∴a=1．

點評 本題考查了導數(shù)的運算法則，考查了簡單的復合函數(shù)的導數(shù)，考查了利用導數(shù)研究過曲線上某點的切線方程，是中低檔題．