Question

5．正方形ABCD的邊長為a，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC的中點，沿DE，EF，F(xiàn)D將△DAE，△EBF，△FCD折起來，三棱錐S-DEF的外接球的體積為$\frac{\sqrt{6}}{8}$πa³．

Answer 1

分析 要求三棱錐的體積先找出可以應(yīng)用的底面和對應(yīng)的高，這里選擇三角形SEF做底面，得到結(jié)果．

解答 解：由題意圖形折疊為三棱錐，且由S出發(fā)的三條棱兩兩垂直，
邊長分別為a，$\frac{a}{2}$，$\frac{a}{2}$，
可以SD，SE，SF為邊補成長方體，
即有長方體的對角線即為球的直徑，
則2r=$\sqrt{{a}^{2}+\frac{{a}^{2}}{4}+\frac{{a}^{2}}{4}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$a，
r=$\frac{\sqrt{6}}{4}$a，
體積V=$\frac{4}{3}$πr³=$\frac{\sqrt{6}}{8}$πa³．
故答案為：$\frac{\sqrt{6}}{8}$πa³．

點評 本題是基礎(chǔ)題，考查幾何體的體積的求法，注意折疊問題的處理方法，考查計算能力