Question

12．函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}|{lnx}|，（{0＜x≤{e^2}}）\\{e^2}+2-x，（{x＞{e^2}}）\end{array}$，存在x₁＜x₂＜x₃，f（x₁）=f（x₂）=f（x₃），則$\frac{{f（{x_3}）}}{{{x_1}{x_2}^2}}$的最大值為（　　）

• A． $\frac{1}{{2\sqrt{e}}}$
• B． $\frac{1}{{\sqrt{e}}}$
• C． $\frac{1}{e}$
• D． $\frac{1}{e^2}$

Answer 1

分析 先作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象先判斷x₁，x₂，x₃的取值范圍和對應(yīng)關(guān)系．然后去判斷$\frac{{f（{x_3}）}}{{{x_1}{x_2}^2}}$的最大值即可．

解答 解：作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：
f（e²）=|lne²|=2，
當(dāng)x＞e²，由f（x）=e²+2-x=0得x=e²+2，
若f（x₁）=f（x₂）=f（x₃），
則0＜x₁＜1，1＜x₂＜e²，e²＜x₃＜2+e²，
由f（x₁）=f（x₂）得|lnx₁|=|lnx₂|，
即-lnx₁=lnx₂，則lnx₁+lnx₂=lnx₁x₂=0，即x₁x₂=1，
則$\frac{{f（{x_3}）}}{{{x_1}{x_2}^2}}$=$\frac{f（{x}_{3}）}{{x}_{2}}=\frac{f（{x}_{2}）}{{x}_{2}}$=$\frac{ln{x}_{2}}{{x}_{2}}$，
設(shè)g（x）=$\frac{lnx}{x}$，1＜x＜e²，
則g′（x）=$\frac{\frac{1}{x}•x-lnx}{{x}^{2}}=\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
由g′（x）＞0得1-lnx＞0，得lnx＜1，即，1＜x＜e，
由g′（x）＜0得1-lnx＜0，得lnx＞1，即e＜x＜e²，
即當(dāng)x=e時，g（x）取得極大值，同時也是最大值g（e）=$\frac{lne}{e}$=$\frac{1}{e}$，
即$\frac{{f（{x_3}）}}{{{x_1}{x_2}^2}}$=$\frac{ln{x}_{2}}{{x}_{2}}$的最大值是$\frac{1}{e}$，
故選：C．

點評 本題考查函數(shù)對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系求參數(shù)的取值范圍問題．利用數(shù)形結(jié)合思想是解決這類問題的關(guān)鍵．