Question

4．設(shè)函數(shù)f（x）=log_a$\frac{x-3}{x+3}$（a＞0且a≠1）的定義域?yàn)閇s，t），值域?yàn)椋╨og_a（at-a），log_a（as-a）]，
（1）求證：s＞3；
（2）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）設(shè)t（x）=|x-1|，h（x）=x²+2x+1，求證：10^t（n）•（$\frac{4}{5}$）^h（n）＜4．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)的定義域和函數(shù)的值域進(jìn)一步判斷函數(shù)的單調(diào)性，最后求出s的范圍．
（2）利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)建立一元二次方程，利用一元二次方程實(shí)數(shù)根的情況求出a的范圍．
（3）建立數(shù)列，進(jìn)一步利用單調(diào)性求出結(jié)果．

解答 證明：（1）數(shù)f（x）=log_a$\frac{x-3}{x+3}$（a＞0且a≠1）的定義域?yàn)閇s，t），
所以：$\frac{s-3}{s+3}＞0$，
解得：s＞3或s＜-3，
由于函數(shù)的定義域?yàn)閇s，t），值域?yàn)椋╨og_a（at-a），log_a（as-a）]，
所以：f（x）=log_a$\frac{x-3}{x+3}$（a＞0且a≠1）為減函數(shù)，
所以：0＜a＜1，
則：${log}_{a}\frac{s-3}{s+3}={log}_{a}（as-a）$，
$\frac{s-3}{s+3}=a（s-1）$＞0，
所以：s＞1，
則：s＞3；
（2）解：由于$\frac{s-3}{s+3}=a（s-1）$可轉(zhuǎn)化為：as²+（2a-1）s+3-3a=0，
由已知得：該方程有兩根，其中一根為s，
所以：△＞0，
即：（2a-1）²-4a（3-3a）＞0，
解得：$0＜a＜\frac{2-\sqrt{3}}{4}$或$\frac{2+\sqrt{3}}{4}＜a＜1$．
證明：（3）設(shè)t（x）=|x-1|，h（x）=x²+2x+1，
所以：①x≥1時(shí)，f（x）+g（x）=x²+3x，
則：函數(shù)在[1，+∞）是單調(diào)遞增函數(shù)．
②當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）+g（x）=x²+x+2，
則：函數(shù)在[-$\frac{1}{2}$，1]是單調(diào)遞增函數(shù)．
設(shè)：${c}_{n}={10}^{|x-1|}（\frac{4}{5}）^{{x}^{2}+2x+1}$，
考察{c_n}的變化規(guī)律：$\frac{{c}_{n+1}}{{c}_{n}}＜1$，由于c_n＞0，
所以上式轉(zhuǎn)化為：$10•（\frac{4}{5}）^{2n+3}＜1$，
解得：$n＞\frac{1}{2lg0.8}-\frac{3}{2}≈3.7$，
n為正整數(shù)，所以n≥4，
則：c₁≤c₂≤c₃≤c₄，且c₄＞c₅＞c₆…
所以：10^t（n）•（$\frac{4}{5}$）^h（n）=${10}^{t（4）}•{（\frac{4}{5}）}^{h（4）}$=${10}^{3}•（\frac{4}{5}）^{25}＜4$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，主要考查學(xué)生的應(yīng)用能力．