Question

16．已知下列三個方程：x²+2ax+2a+3=0，x²+2（a+1）x+a²=0，x²+2ax-2a=0至少有一個方程有實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A． （-∞，-1]∪[2，+∞）
• B． （-1，2）
• C． （-∞，-1]∪[-$\frac{1}{2}$，+∞）
• D． （-1，-$\frac{1}{2}$）

Answer 1

分析 至少有一個方程有實根的對立面是三個方程都沒有根，由于正面解決此問題分類較多，而其對立面情況單一，故求解此類問題一般先假設(shè)沒有一個方程有實數(shù)根，然后由根的判別式解得三方程都沒有根的實數(shù)a的取值范圍，其補集即為個方程 x²+2ax+2a+3=0，x²+2（a+1）x+a²=0，x²+2ax-2a=0至少有一個方程有實根成立的實數(shù)a的取值范圍．此種方法稱為反證法

解答 解：假設(shè)沒有一個方程有實數(shù)根，則：$\left\{\begin{array}{l}{4{a}^{2}-4（2a+3）＜0}\\{4（a+1）^{2}-4{a}^{2}＜0}\\{4{a}^{2}+8a＜0}\end{array}\right.$
解之得：-1＜a＜-$\frac{1}{2}$，
故三個方程至少有一個方程有實根的a的取值范圍是（-∞，-1]∪[-$\frac{1}{2}$，+∞），
故選：C．

點評 本題考查反證法，解題時要合理地運用反證法的思想靈活轉(zhuǎn)化問題，以達到簡化解題的目的，在求解如本題這類存在性問題時，若發(fā)現(xiàn)正面的求解分類較繁，而其對立面情況較少，不妨如本題采取求其反而成立時的參數(shù)的取值范圍，然后求此范圍的補集，即得所求范圍，本題中三個方程都是一元二次方程，故求解時注意根的判別式的運用．