Question

11．“斐波那契數(shù)列”是數(shù)學(xué)史上一個(gè)著名數(shù)列，在斐波那契數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₂=1，a_n+2=a_n+1+a_n（n∈N^*）則a₈=21；若a₂₀₁₈=m²+1，則數(shù)列{a_n}的前2016項(xiàng)和是m²．（用m表示）．

Answer 1

分析 ①由a₁=1，a₂=1，a_n+2=a_n+1+a_n（n∈N^*），a₃=1+1=2，同理可得：a₄，a₅，a₆，a₇，a₈
②由于a₁=1，a₂=1，a_n+a_n+1=a_n+2（n∈N^*），可得a₁+a₂=a₃，a₂+a₃=a₄，a₃+a₄=a₅，…，a₂₀₁₆+a₂₀₁₇=a₂₀₁₈．以上累加求和即可得出

解答 解：①∵a₁=1，a₂=1，a_n+2=a_n+1+a_n（n∈N^*），∴a₃=1+1=2，
同理可得：a₄=3，a₅=5，a₆=8，則a₇=13，a₈，=21．
②∵a₁=1，a₂=1，a_n+a_n+1=a_n+2（n∈N^*），
∴a₁+a₂=a₃，
a₂+a₃=a₄，
a₃+a₄=a₅，
…，
a₂₀₁₅+a₂₀₁₆=a₂₀₁₇
a₂₀₁₆+a₂₀₁₇=a₂₀₁₈．
以上累加得，
a₁+a₂+a₂+a₃+a₃+a₄+…+2a₂₀₁₆+a₂₀₁₇=a₃+a₄+…+a₂₀₁₈，
∴a₁+a₂+a₃+a₄+…+a₂₀₁₆=a₂₀₁₈-a₂=m²+1-1=m²，
故答案分別為：21； m²

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、“累加求和”方法、“斐波那契數(shù)列”的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．