Question

1．如圖所示為一簡(jiǎn)單組合體，其底面ABCD為直角梯形，AD⊥CD，AB∥CD，PD⊥平面ABCD，PD∥EC，PD=CD=2AD=2AB=2，CE=1
（Ⅰ）求證：BC⊥平面PBD；
（Ⅱ）若F為PC上的一點(diǎn)，試確定F的位置使得BF∥平面PAD；
（Ⅲ）求E到平面PBC的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明BC⊥BD，BC⊥PD，即可證明BC⊥平面PBD；
（Ⅱ）F為PC的中點(diǎn)，取DC的中點(diǎn)M，連接BM，F(xiàn)M，證明平面BMF∥平面PAD，即可證明BF∥平面PAD；
（Ⅲ）由V_E-PBC=V_B-PCE可得E到平面PBC的距離．

解答 （Ⅰ）證明：∵底面ABCD為直角梯形，AD⊥CD，AB∥CD，CD=2AD=2AB=2，
∴BC⊥BD，
∵PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴BC⊥PD，
∵BD∩PD=D
∴BC⊥平面PBD；
（Ⅱ）解：F為PC的中點(diǎn)，使得BF∥平面PAD．
取DC的中點(diǎn)M，連接BM，F(xiàn)M，則FM∥PD
∵FM?平面PAD，PD?平面PAD，
∴FM∥平面PAD，
∵BM∥AD，BM?平面PAD，AD?平面PAD，
∴BM∥平面PAD，
∵BM∩FM=M，
∴平面BMF∥平面PAD，
∵BF?平面BMF，
∴BF∥平面PAD；
（Ⅲ）解：由題意，Rt△PBC中，PB=$\sqrt{6}$，BC=$\sqrt{2}$，∴S_△PBC=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{6}$=$\sqrt{3}$．
設(shè)E到平面PBC的距離為h，則由V_E-PBC=V_B-PCE可得$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×h=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×2×1$，
∴h=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的判定，考查線面平行，考查點(diǎn)到平面距離的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．