Question

15．一個楔子形狀幾何體的直觀圖如圖所示，其底面ABCD為一個矩形，其中AB=6，AD=4，頂部線段EF∥平面ABCD，棱EA=ED=FB=FC=6$\sqrt{2}$，二面角F-BC-A的余弦值為$\frac{\sqrt{17}}{17}$．設(shè)M，N分別是AD，BC的中點．
（I）證明：平面EFNM⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求直線BF與平面EFCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理推斷出EF∥AB，又M，N是平行四形ABCD兩邊AD，BC的中點，推斷出MN∥AB，進(jìn)而可知EF∥MN，推斷出E，F(xiàn)，M，N四點共面．根據(jù)FB=FC，推斷出BC⊥FN，又BC⊥MN，根據(jù)線面垂直的判定定理推斷出，BC⊥平面EFNM，即可證明平面EFNM⊥平面ABCD；
（Ⅱ）在平面EFNM內(nèi)F做MN的垂線，垂足為H，則由第 （1）問可知：BC⊥平面EFNM，則平面ABCD⊥平面EFNM，進(jìn)而可知FH⊥平面ABCD，又因為FN⊥BC，HN⊥BC，可知二面角F-BC-A的平面角為∠FNH．在Rt△FNB和Rt△FNH中，分別求得FN和HN，過H做邊AB，CD的垂線，垂足為S，Q，建立空間直角坐標(biāo)系，由此能求出直線BF與平面EFCD所成角的正弦值．

解答 （I）證明：∵EF∥平面ABCD，且EF?平面EFAB，
又∵平面ABCD∩平面EFAB=AB，
∴EF∥AB，
又M，N是平行四形ABCD兩邊AD，BC的中點，
∴MN∥AB，
∴EF∥MN，
∴E，F(xiàn)，M，N四點共面．
∵FB=FC，
∴BC⊥FN，
又∵BC⊥AB，
∴BC⊥MN，
∵FN∩MN=N，
∴BC⊥平面EFNM，
∵BC?平面ABCD，
∴平面EFNM⊥平面ABCD；
（Ⅱ）解：在平面EFNM內(nèi)F做MN的垂線，垂足為H，則由第（I）問可知：BC⊥平面EFNM，則平面ABCD⊥平面EFNM，∴FH⊥平面ABCD，
又∵FN⊥BC，HN⊥BC，∴二面角F-BC-A的平面角為∠FNH．
在Rt△FNB和Rt△FNH中，F(xiàn)N=$\sqrt{68}$，HNHN=FNcos∠FNH=2，∴FH=8，
過H做邊AB，CD的垂線，垂足為S，Q，
以H為坐標(biāo)原點，以HS，HN，HF方向為x，y，z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，
則F（0，0，8），S（2，0，0），C（-2，2，0），D（-2，-4，0），
則$\overrightarrow{FB}$=（2，2，-8），$\overrightarrow{FC}$=（-2，2，-8），$\overrightarrow{CD}$=（0，-6，0）
設(shè)平面EFCD的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{-2x+2y-8z=0}\\{-6y=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（-4，0，1），
設(shè)直線BF與平面EFCD所成角為θ，則sinθ=$\frac{|-8-8|}{\sqrt{2+4+64}•\sqrt{16+1}}$=$\frac{4\sqrt{34}}{51}$．

點評 本題主要考查了空間點，線面的位置關(guān)系，空間的角的計算．考查學(xué)生的空間想象能力和運算能力．屬于中檔題．