Question

17．過(guò)拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F作傾斜角為θ的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，設(shè)△AOB的面積S（O為原點(diǎn)）．
（1）用θ、p表示S；
（2）求S的最小值；當(dāng)最小值為4時(shí)，求拋物線的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)過(guò)焦點(diǎn)F（$\frac{p}{2}$，0）傾斜角為θ的直線的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{p}{2}+tcosθ}\\{y=tsinθ}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），代入拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和三角形的面積公式，化簡(jiǎn)整理即可得到S的解析式；
（2）由正弦函數(shù)的值域，可得sinθ=1時(shí)取得最小值，求得最小值；再令最小值為4，解得p，進(jìn)而得到拋物線的方程．

解答 解：（1）設(shè)過(guò)焦點(diǎn)F（$\frac{p}{2}$，0）傾斜角為θ的直線的參數(shù)方程為：
$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{p}{2}+tcosθ}\\{y=tsinθ}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），代入拋物線的方程可得，
t²sin²θ-2ptcosθ-p²=0，t₁+t₂=$\frac{2pcosθ}{si{n}^{2}θ}$，t₁t₂=-$\frac{{p}^{2}}{si{n}^{2}θ}$，
即有S=$\frac{1}{2}$•$\frac{P}{2}$•|t₁-t₂|sinθ=$\frac{1}{4}$psinθ•$\sqrt{（\frac{2pcosθ}{si{n}^{2}θ}）^{2}+\frac{4{p}^{2}}{si{n}^{2}θ}}$
=$\frac{1}{4}$psinθ•$\frac{2p}{si{n}^{2}θ}$=$\frac{{p}^{2}}{2sinθ}$；
（2）當(dāng)sinθ=1，即θ=$\frac{π}{2}$時(shí)，S取得最小值$\frac{1}{2}$p²；
當(dāng)最小值為4時(shí)，即為$\frac{1}{2}$p²=4，解得p=2$\sqrt{2}$，
即有拋物線的方程為y²=4$\sqrt{2}$x．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，注意運(yùn)用直線的參數(shù)方程，考查三角函數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)用，以及化簡(jiǎn)整理的能力，屬于中檔題．