Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的和S_n，點(diǎn)（n，S_n）在函數(shù)f（x）=2x²+4x圖象上，
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若函數(shù)g（x）=2 ^-x，數(shù)列{b_n}滿足b_n=g（n），記c_n=a_n•b_n，求數(shù)列{c_n}前n項(xiàng)和T_n；
（3）是否存在實(shí)數(shù)λ，使得當(dāng)x≤λ時(shí)，f（x）=-x²+4x-

an

n+1

≤0對(duì)任意n∈N^*恒成立？若存在，求出最大的實(shí)數(shù)λ，若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與函數(shù)的綜合,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）要求數(shù)列的通項(xiàng)公式，當(dāng)n大于等于2時(shí)可根據(jù)數(shù)列的前n項(xiàng)的和減去數(shù)列的前n-1項(xiàng)的和求出，然后把n=1代入驗(yàn)證；
（2）由函數(shù)g（x）=2 ^-x，數(shù)列{b_n}滿足b_n=g（n）=2 ^-n，利用錯(cuò)位相減法可得數(shù)列{c_n}前n項(xiàng)和T_n；
（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ，使得當(dāng)x≤λ時(shí)，f（x）=-x²+4x-

an

n+1

≤0對(duì)任意n∈N^*恒成立，即-x²+4x≤

an

n+1

對(duì)任意n∈N^*恒成立，由

an

n+1

=4-

2

n+1

是遞增數(shù)列，能推導(dǎo)出存在最大的實(shí)數(shù)λ=1，使得當(dāng)x≤λ時(shí)，f（x）≤c_n對(duì)任意n∈N^*恒成立．

解答： 解：（1）由題意，S_n=2n²+4n，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=6，
n≥2時(shí)，
a_n=S_n-S_n-1=（2n²+4n）-[2（n-1）²+4（n-1）]=4n+2，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=4+2=6，也適合上式
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=4n+2，n∈N^*；
（2）∵函數(shù)g（x）=2 ^-x，
∴數(shù)列{b_n}滿足b_n=g（n）=2 ^-n，
又∵c_n=a_n•b_n，
∴T_n=6×2^-1+10×2^-2+14×2^-3+…+（4n+2）×2^-n，…①，
∴

1

2

T_n=6×2^-2+10×2^-3+…+（4n-2）×2^-n+（4n+2）×2^-（n+1），…②，
①-②得：

1

2

T_n=6×2^-1+4（2^-2+2^-3+…+2^-n）-（4n+2）×2^-（n+1）=5-（2n+5）(

1

2

)n，
∴T_n=10-（2n+5）(

1

2

)n-1，
（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ，使得當(dāng)x≤λ時(shí)，f（x）=-x²+4x-

an

n+1

≤0對(duì)任意n∈N^*恒成立，
即-x²+4x≤

an

n+1

對(duì)任意n∈N^*恒成立，
∵a_n=4n+2，
∴c_n=

an

n+1

=

4n+2

n+1

=4-

2

n+1

是遞增數(shù)列，
所以只要-x²+4x≤c₁，即x²-4x+3≥0，
解得x≤1或x≥3．
所以存在最大的實(shí)數(shù)λ=1，使得當(dāng)x≤λ時(shí)，f（x）≤c_n對(duì)任意n∈N^*恒成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的求法，考查數(shù)列不等式的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相消法和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．