Question

1．△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c．已知（a+c）²-b²=3ac
（1）求角B；
（2）當(dāng)b=6，sinC=2sinA時(shí)，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）由余弦定理變形已知式子可得cosB的值，可得B值；
（2）由題意和正弦定理可得c=2a，代入b²=a²-ac+c²可得a和c的值，可得三角形為直角三角形，由面積公式可得．

解答 解：（1）∵（a+c）²-b²=3ac，∴b²=a²-ac+c²，
∴ac=a²+c²-b²，∴$cosB=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}=\frac{ac}{2ac}=\frac{1}{2}$
∵B∈（0，π），∴$B=\frac{π}{3}$；
（2）∵sinC=2sinA，∴由正弦定理可得c=2a，
代入b²=a²-ac+c²可得36=a²+4a²-2a²，
解得$a=2\sqrt{3}$，$c=4\sqrt{3}$，滿足a²+b²=c²，
∴△ABC為直角三角形，
∴△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×6=6$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查正余弦定理解三角形，涉及三角形的面積公式，屬基礎(chǔ)題．