Question

【題目】某企業(yè)接到生產(chǎn)3000臺(tái)某產(chǎn)品的A，B，C三種部件的訂單，每臺(tái)產(chǎn)品需要這三種部件的數(shù)量分別為2,2,1（單位：件）.已知每個(gè)工人每天可生產(chǎn)A部件6件，或B部件3件，或C部件2件.該企業(yè)計(jì)劃安排200名工人分成三組分別生產(chǎn)這三種部件，生產(chǎn)B部件的人數(shù)與生產(chǎn)A部件的人數(shù)成正比，比例系數(shù)為k（k為正整數(shù)）.

（1）設(shè)生產(chǎn)A部件的人數(shù)為x，分別寫出完成A，B，C三種部件生產(chǎn)需要的時(shí)間；

（2）假設(shè)這三種部件的生產(chǎn)同時(shí)開工，試確定正整數(shù)k的值，使完成訂單任務(wù)的時(shí)間最短，并給出時(shí)間最短時(shí)具體的人數(shù)分組方案.

Answer 1

【答案】

【解析】（1）設(shè)完成A,B,C三種部件的生產(chǎn)任務(wù)需要的時(shí)間（單位：天）分別為

由題設(shè)有

其中均為1到200之間的正整數(shù).（3分）

（2）完成訂單任務(wù)的時(shí)間為

其定義域?yàn)?/span>

易知，為減函數(shù)，為增函數(shù).

注意到于是

①當(dāng)時(shí)， 此時(shí)，

由函數(shù)的單調(diào)性知，當(dāng)時(shí)取得最小值，解得.

由于.

故當(dāng)時(shí)完成訂單任務(wù)的時(shí)間最短，且最短時(shí)間為.（6分）

②當(dāng)時(shí)， 由于為正整數(shù)，故，

此時(shí).

記，易知為增函數(shù)，則

.

由函數(shù)的單調(diào)性知，當(dāng)時(shí)取得最小值，解得.由于

此時(shí)完成訂單任務(wù)的最短時(shí)間大于.（9分）

③當(dāng)時(shí)， 由于為正整數(shù)，故，

此時(shí)

由函數(shù)的單調(diào)性知，當(dāng)時(shí)取得最小值，解得.

類似①的討論，此時(shí)完成訂單任務(wù)的最短時(shí)間為，大于.

綜上所述，當(dāng)時(shí)，完成訂單任務(wù)的時(shí)間最短，此時(shí)，生產(chǎn)A，B，C三種部件的人數(shù)分別為44,88,68.