Question

5．已知函數(shù)f（x）=mx³+nx²的圖象在點(diǎn)（-1，2）處的切線恰好與直線3x+y=0平行，若f（x）在區(qū)間[t，t+1]上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是[-2，-1]．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由題意可得f（-1）=2，f′（-1）=-3．可得m=1，n=3，可得f（x）的解析式，求得導(dǎo)數(shù)，可令導(dǎo)數(shù)小于0，得減區(qū)間，再由題意可得t≥-2且t+1≤0，即可得到t的范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=mx³+nx²的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3mx²+2nx，
由題意可得f（-1）=2，f′（-1）=-3．
即有n-m=2，3m-2n=-3，
解得m=1，n=3，
可得f（x）=x³+3x²，
由f′（x）=3x²+6x≤0可得-2≤x≤0，
f（x）在區(qū)間[t，t+1]上單調(diào)遞減，
則t≥-2且t+1≤0，
解得-2≤t≤-1．
故答案為：[-2，-1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間，同時(shí)考查兩直線平行的條件和函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，屬于中檔題．