Question

17．定義復(fù)數(shù)的一種運(yùn)算z₁*z₂=$\frac{|{z}_{1}|+|{z}_{2}|}{2}$ （等式右邊為普通運(yùn)算），若復(fù)數(shù)z=a+bi，$\overline{z}$為z的共軛復(fù)數(shù)，且正實(shí)數(shù)a，b滿足a+b=3，則z*$\overline{z}$的最小值為（　�。�

• A． $\frac{9}{2}$
• B． $\frac{3\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{3}{2}$
• D． $\frac{9}{4}$

Answer 1

分析 由新定義和復(fù)數(shù)的模長公式可得z*$\overline{z}$=$\frac{|a+bi|+|a-bi|}{2}$=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{2{a}^{2}-6a+9}$，由二次函數(shù)的最值可得．

解答 解：由題意可得z*$\overline{z}$=$\frac{|a+bi|+|a-bi|}{2}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}+\sqrt{{a}^{2}+（-b）^{2}}}{2}$=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$，
∵正實(shí)數(shù)a，b滿足a+b=3，∴b=3-a，
∴$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+（3-a）^{2}}$=$\sqrt{2{a}^{2}-6a+9}$，
由二次函數(shù)可知當(dāng)a=$-\frac{-6}{2×2}$=$\frac{3}{2}$時，上式取最小值$\frac{3\sqrt{2}}{2}$
故選：B

點(diǎn)評 本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，涉及新定義和二次函數(shù)求最值，屬中檔題．