Question

3．已知二次函數(shù)f（x）=ax²+4x+c的最小值為-1，且對任意x都有f（-2+x）=f（-x）
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）設g（x）=f（-x）-λf（x）+1，λ＜1，若g（x）在[-2，2]上是減函數(shù)，求實數(shù)λ的最小值．

Answer 1

分析 （1）首先由函數(shù)的最小值為-1和對任意x都有f（-2+x）=f（-x），建立方程組求的解析式．
（2）對函數(shù)的對稱軸和單調區(qū)間進行討論，確定λ的取值范圍．

解答 解：（1）已知二次函數(shù)f（x）=ax²+4x+c的最小值為-1，
則：$\frac{4ac-16}{4a}$=-1
對任意x都有f（-2+x）=f（-x）．
-$\frac{4}{2a}$=-1
解得：a=2，c=1．
故函數(shù)解析式為：f（x）=2x²+4x+1．
（2）由（1）得：f（x）=2x²+4x+1，
由于g（x）=f（-x）-λf（x）+1，
則：g（x）=2（-λ+1）x²-4（λ+1）x+2，
g（x）在[-2，2]上是減函數(shù)，
則：①當λ=1時，g（x）=-8x+2，g（x）在[-2，2]上是減函數(shù)，
②當λ＞1時g（x）=2（-λ+1）x²-4（λ+1）x+2是開口方向向下的拋物線，
-$\frac{4（1+λ）}{4（1-λ）}$≤-2解得：λ≥$\frac{1}{3}$，
故：1＜λ．
③當λ＜1時g（x）=2（-λ+1）x²-4（λ+1）x+2是開口方向向上的拋物線，
-$\frac{4（1+λ）}{4（1-λ）}$≥2解得：≥3，故無解．
綜上所述：λ≥1．
∴實數(shù)λ的最小值為1．

點評 本題考查的知識要點：二次函數(shù)的解析式的求法，二次函數(shù)對稱軸和定區(qū)間的關系，以及函數(shù)的存在性問題．