Question

16．已知實數(shù)x，y滿足關系式xy-x-y=1，求x²+y²的最小值．

Answer 1

分析 由xy-x-y=1可得xy=1+x+y，令x+y=t，則y=t-x，可得x²-tx+t+1=0，由△≥0可得t的范圍，x²+y²=（t-1）²-3，由二次函數(shù)的知識可得．

解答 解：由xy-x-y=1可得xy=1+x+y，令x+y=t，則y=t-x，
代入上式可得x（t-x）=1+t，整理可得x²-tx+t+1=0，
由△=（-t）²-4（t+1）≥0可得t≥2+2$\sqrt{2}$或t≤2-2$\sqrt{2}$，
∴x²+y²=（x+y）²-2xy=（x+y）²-2（x+y）-2=t²-2t-2=（t-1）²-3
由二次函數(shù)的知識可知當t=2-2$\sqrt{2}$時，函數(shù)取最小值6-4$\sqrt{2}$

點評 本題考查距離公式，涉及換元法和一元二次方程根的存在性，屬中檔題．