Question

12．已知拋物線C的方程：x²=2py（p＞0）．
（1）設AB是過拋物線焦點F的弦，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
①證明：y₁y₂為定值，并求出此定值；
②證明$\frac{1}{|A{F}_{1}|}$+$\frac{1}{|A{F}_{2}|}$為定值，并求出此定值：
③試判斷以AB為直徑的圓與準線的位置關系并加以證明：
④證明：過A，B分別作拋物線的切線，則兩條切線的交點T一定在準線上：
（2）當p=2時，直線y=1交拋物線于A．B兩點．已知P（0，-1），Q（x₀，y₀）（-2≤x₀≤2）是拋物線C上一動點，拋物線C在點Q處的切線為l，l與PA，PB分別交于點D，E，求△QAB與△PDE的面積之比：
（3）當p=$\frac{1}{2}$時，若拋物線C上存在關于直線l：y=kx+1對稱的兩點，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）①由拋物線方程得到焦點坐標，寫出AB所在直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關系可得y₁y₂為定值，并求出此定值；
②由拋物線的焦半徑公式把|AF|、|BF|用A，B的縱坐標及p表示，代入后結(jié)合根與系數(shù)的關系整理得答案；
③取AB的中點M，分別過A、B、M作準線的垂線AA′、BB′、MN，垂足分別為A′、B′、N，作出圖形，利用拋物線的定義及梯形的中位線性質(zhì)可推導，|MN|=$\frac{1}{2}$|AB|，從而可判斷圓與準線的位置關系；
④由拋物線方程求出拋物線的焦點坐標，由斜截式寫出過焦點的直線方程，和拋物線方程聯(lián)立求出A，B兩點橫坐標的積，再利用導數(shù)寫出過A，B兩點的切線方程，然后整體運算可求得兩切線的交點的縱坐標為定值$-\frac{p}{2}$，從而得到兩切線交點在拋物線的準線上；
（2）由題意求出A，B的坐標，設出Q的坐標，由導數(shù)求出拋物線在Q點的切線方程，再求出PA、PB的直線方程，聯(lián)立求出D，E的坐標，把△QAB與△PDE的面積都用Q點的橫坐標表示后得答案；
（3）設出兩點G、H兩點坐標，得到直線GH方程x=-ky+m，把直線GH方程與拋物線方程聯(lián)立，化為一元二次方程，由韋達定理求出GH中點，應用中點在對稱軸上，且判別式大于0，可求出k的取值范圍．

解答 （1）證明：①根據(jù)拋物線方程，得F（0，$\frac{p}{2}$），直線AB的方程為y=kx+$\frac{p}{2}$．
聯(lián)立拋物線方程得x²-2pkx-p²=0．
∴x₁x₂=-p²，則y₁y₂=$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2p}•\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2p}=\frac{{p}^{4}}{4{p}^{2}}$=$\frac{{p}^{2}}{4}$．
∴y₁y₂為定值，定值為$\frac{{p}^{2}}{4}$；
②根據(jù)拋物線的定義，|AF|=y₁+$\frac{p}{2}$，|BF|=y₂+$\frac{p}{2}$；
∴$\frac{1}{|AF|}+\frac{1}{|BF|}$=$\frac{1}{{y}_{1}+\frac{p}{2}}$+$\frac{1}{{y}_{2}+\frac{p}{2}}$=$\frac{4（{y}_{1}+{y}_{2}）+4p}{4{y}_{1}{y}_{2}+2p（{y}_{1}+{y}_{2}）+{p}^{2}}$；
y₁y₂=$\frac{{p}^{2}}{4}$代入化簡可得：$\frac{1}{|AF|}+\frac{1}{|BF|}$=$\frac{4（{y}_{1}+{y}_{2}）+4p}{4•\frac{{p}^{2}}{4}+2p（{y}_{1}+{y}_{2}）+{p}^{2}}=\frac{4（{y}_{1}+{y}_{2}）+4p}{2{p}^{2}+2p（{y}_{1}+{y}_{2}）}$=$\frac{2}{p}$；
即$\frac{1}{|AF|}+\frac{1}{|BF|}$為定值，定值為$\frac{2}{p}$；
③取AB的中點M，分別過A、B、M作準線的垂線AA′、BB′、MN，垂足分別為A′、B′、N，如圖所示：
由拋物線的定義可知，|AA′|=|AF|，|BB′|=|BF|，
在直角梯形APQB中，|MN|=$\frac{1}{2}$（|AA′|+|BB′|）=$\frac{1}{2}$（|AF|+|BF|）=$\frac{1}{2}$|AB|，
故圓心M到準線的距離等于半徑，
∴以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切；
④拋物線方程可化為$y=\frac{1}{2p}{x}^{2}$，于是$y′=\frac{1}{p}x$，
∴${k}_{AT}=\frac{1}{p}{x}_{1}，{k}_{BT}=\frac{1}{p}{x}_{2}$，直線AT的方程為y-y₁=$\frac{{x}_{1}}{p}（x-{x}_{1}）$，即y$-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2p}=\frac{{x}_{1}}{p}（x-{x}_{1}）$，$y=\frac{{x}_{1}}{p}x-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2p}$，
同理，直線BT的方程為$y=\frac{{x}_{2}}{p}x-\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2p}$．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{{x}_{1}}{p}x-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2p}}\\{y=\frac{{x}_{2}}{p}x-\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2p}}\end{array}\right.$，解得$y=\frac{\frac{{x}_{1}{{x}_{2}}^{2}}{2p}-\frac{{x}_{2}{{x}_{1}}^{2}}{2p}}{{x}_{2}-{x}_{1}}=\frac{\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{2p}（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{1}{2p}•（-{p}^{2}）=-\frac{p}{2}$．
∴兩條切線的交點一定在準線上；
（2）解：如圖，
當p=2時，拋物線C的方程為x²=4y，聯(lián)立直線y=1，可得A（-2，1），B（2，1），
設Q（${x}_{0}，\frac{1}{4}{{x}_{0}}^{2}$），則過Q的切線方程為y-$\frac{1}{4}{{x}_{0}}^{2}=\frac{1}{2}{x}_{0}（x-{x}_{0}）$，即$y=\frac{1}{2}{x}_{0}x-\frac{1}{4}{{x}_{0}}^{2}$．
又P（0，-1），
∴PA、PB所在直線方程分別為$\frac{y+1}{1+1}=\frac{x-0}{-2-0}，\frac{y+1}{1+1}=\frac{x-0}{2-0}$，即x+y+1=0，x-y-1=0．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x+y+1=0}\\{y=\frac{1}{2}{x}_{0}x-\frac{1}{4}{{x}_{0}}^{2}}\end{array}\right.$，解得D（$\frac{{x}_{0}-2}{2}，-\frac{{x}_{0}}{2}$），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x-y-1=0}\\{y=\frac{1}{2}{x}_{0}x-\frac{1}{4}{{x}_{0}}^{2}}\end{array}\right.$，解得E（$\frac{{x}_{0}+2}{2}，\frac{{x}_{0}}{2}$）．
∴${S}_{△QAB}=\frac{1}{2}×4×（1-\frac{1}{4}{{x}_{0}}^{2}）$=$2（1-\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}）$，
${S}_{△PDE}=\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{4}{{x}_{0}}^{2}）×|{x}_{D}-{x}_{E}|$=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{4}{{x}_{0}}^{2}）|\frac{{x}_{0}-2}{2}-\frac{{x}_{0}+2}{2}|$=$1-\frac{1}{4}{{x}_{0}}^{2}$．
故△QAB與△PDE的面積之比為2；
（3）解：設兩點G、H關于直線y=kx+1對稱，故可設直線GH方程為y=-$\frac{1}{k}$x+m，代入y=x²，
得：x²+$\frac{1}{k}$x-m=0．
設G（x₁，y₁）、H（x₂，y₂），則GH中點K（x₀，y₀），則x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=-\frac{1}{2k}$，y₀=$\frac{1}{2{k}^{2}}$+m．
∵點M（x₀，y₀）在直線y=kx+1上，
∴$\frac{1}{2{k}^{2}}$+m=k（-$\frac{1}{2k}$）+1，
∴m=$\frac{1}{2}-\frac{1}{2{k}^{2}}$．
又∵GH與拋物線交于不同兩點，∴△=$\frac{1}{{k}^{2}}$+4m＞0．
把m代入得$\frac{1}{{k}^{2}}$+4（$\frac{1}{2}-\frac{1}{2{k}^{2}}$）＞0，化簡得$\frac{1}{{k}^{2}}$＜2，解得k＜-$\frac{\sqrt{2}}{2}$或k＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故k的取值范圍是（-∞，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）∪（$\frac{\sqrt{2}}{2}，+∞$）．

點評 本題考查直線與拋物線的位置關系、直線與圓的位置關系，考查拋物線的定義，考查了軌跡方程，訓練了利用導數(shù)研究曲線上某點處的切線方程，考查了整體運算思想方法，是難題．