Question

已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各條棱長都為a，P為A₁B上的點，且PC⊥AB
（1）求證：P點為A₁B的中點；
（2）求二面角P-AC-B的正切值．

Answer 1

分析：（1）過P點作PM⊥AB于M，由正三棱柱性質知PM⊥平面ABC，得到M為AB中點，又PM∥AA₁，利用平行線分線段成比例定理得到P為A₁B的中點．
（2）過M作MN⊥AC于N，連接PN則PN⊥AC，∠PNM為二面角P-AC-B的平面角，解Rt△PMN求出二面角P-AC-B的正切值．

解答：解：（1）過P點作PM⊥AB于M，
由正三棱柱性質知PM⊥平面ABC，
連接MC，則MC為PC在平面ABC上的射影．
∵PC⊥AB，
∴MC⊥AB，
∴M為AB中點，又PM∥AA₁，
所以P為A₁B的中點．
（2）過M作MN⊥AC于N，連接PN則PN⊥AC，
∴∠PNM為二面角P-AC-B的平面角
在Rt△PMN中，由|PM|=

a

2

，|MN|=

3

4

a，得tan∠PNM=

|PM|

|MN|

=

2 3

3

所以二面角P-AC-B的正切值為

2 3

3

點評：本題主要考查了直線與平面垂直的性質，以及二面角的度量，考查空間想象能力，幾何邏輯推理能力，以及計算能力，屬于常規(guī)題．