Question

在四棱錐P-ABCD中，∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)．
（1）求證：平面PAC⊥平面PCD；
（2）求證：CE∥平面PAB．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由線面垂直得PA⊥CD，由直角性質(zhì)得CD⊥AC，由此能證明平面PAC⊥平面PCD．
（2）法一：取AD中點(diǎn)M，連EM，CM，則EM∥PA．從而得到EM∥平面PAB．再由MC∥AB，得到MC∥平面PAB，由此證明平面EMC∥平面PAB，從而EC∥平面PAB．
（2）法二：延長DC，AB交于點(diǎn)N，連PN．由已知條件推地出EC∥PN．由此能證明EC∥平面PAB．

解答： 證明：（1）因?yàn)镻A⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，所以PA⊥CD，…（2分）
又∠ACD=90°，則CD⊥AC，而PA∩AC=A，
所以CD⊥平面PAC，因?yàn)镃D?平面ACD，…（4分）
所以，平面PAC⊥平面PCD．…（7分）
（2）證法一：取AD中點(diǎn)M，連EM，CM，則EM∥PA．
因?yàn)镋M?平面PAB，PA?平面PAB，
所以EM∥平面PAB． …（9分）
在Rt△ACD中，AM=CM，所以∠CAD=∠ACM，
又∠BAC=∠CAD，所以∠BAC=∠ACM，
則MC∥AB．
因?yàn)镸C?平面PAB，AB?平面PAB，
所以MC∥平面PAB．…（12分）
而EM∩MC=M，所以平面EMC∥平面PAB．
由于EC?平面EMC，從而EC∥平面PAB．    …（14分）
（2）證法二：延長DC，AB交于點(diǎn)N，連PN．
因?yàn)椤螻AC=∠DAC，AC⊥CD，
所以C為ND的中點(diǎn)．
而E為PD中點(diǎn)，所以EC∥PN．
因?yàn)镋C?平面PAB，PN?平面PAB，
所以EC∥平面PAB．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直的證明，考查直線與平面垂直的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．