Question

11．求函數(shù)y=2+2sinxcosx+sinx+cosx的最大值和最小值．

Answer 1

分析 令t=sinx+cosx，由和差角的三角函數(shù)公式可得t∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，換元可得y=（t+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，由二次函數(shù)區(qū)間的最值可得．

解答 解：令t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，
平方可得t²=1+2sinxcosx，則2sinxcosx=t²-1，
換元可得y=2+t²-1+t=t²+t+1=（t+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，
由二次函數(shù)可知當(dāng)t=-$\frac{1}{2}$時，函數(shù)取最小值$\frac{3}{4}$，
當(dāng)t=$\sqrt{2}$時，函數(shù)取最大值3+$\sqrt{2}$．

點評 本題考查三角函數(shù)恒等變換，涉及換元法和二次函數(shù)區(qū)間的最值，屬中檔題．