Question

對于三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），給出定義：f′（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，f^∥（x）是f′（x）的導(dǎo)函數(shù)，若方程f^∥（x）=0有實數(shù)解x₀，則稱點（x₀，f（x₀））為函數(shù)y=f（x）的“拐點”．某同學經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且拐點就是對稱中心． 若f（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+3x-

5

12

，請你根據(jù)這一發(fā)現(xiàn)，求：
（1）函數(shù)f（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+3x-

5

12

的對稱中心為

 

；
（2）f（

1

2016

）+f（

2

2016

）+…+f（

2015

2016

）=

 

．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）令f^″（x）=0，解得x=

1

2

．計算f(

1

2

)即可得出．
（2）由于函數(shù)f（x）的對稱中心為(

1

2

，1)．可得f（1-x）+f（x）=2．即可得出．

解答： 解：（1）f′（x）=x²-x+3，f^″（x）=2x-1，
令f^″（x）=0，解得x=

1

2

．
f(

1

2

)=

1

3

×(

1

2

)3-

1

2

×(

1

2

)2+3×

1

2

-

5

12

=1．
∴函數(shù)f（x）的對稱中心為(

1

2

，1)．
（2）由于函數(shù)f（x）的對稱中心為(

1

2

，1)．
∴f（1-x）+f（x）=2．
∴f（

1

2016

）+f（

2

2016

）+…+f（

2015

2016

）
=

1

2

[f(

1

2016

)+f(

2015

2016

)+f(

2

2016

)+f(

2014

2016

)+…+f(

2015

2016

)+f(

1

2016

)]
=

1

2

(2×2015)
=2015．
故答案為：2015．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究三次函數(shù)的中心對稱性，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．