Question

1．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，S₇=0，a₃-2a₂=12．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求S_n-15n+50的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出數(shù)列的第4項，然后求解數(shù)列的首項與公差，即可求解通項公式．
（2）求出等差數(shù)列的前n項和，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求解和的最小值．

解答 解：（1）由S₇=0得7a₄=0…2
所以$\left\{{\begin{array}{l}{{a_1}+3d=0}\\{{a_1}+2d-2（{{a_1}+d}）12}\end{array}}\right.$
解得a₁=-12，d=4…4
所以數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=4n-16…5
（2）${S_n}=\frac{{n（{{a_1}+{a_n}}）}}{2}=\frac{{n（{-12+4n-16}）}}{2}=2{n^2}-14n$…7
所以${S_n}-15n+50=2{n^2}-29n+50$=$2{（{n-\frac{29}{4}}）^2}-\frac{441}{8}$…9
因為$n∈{N^*}，且|{7-\frac{29}{4}}|＜|{8-\frac{29}{4}}|$
所以當(dāng)n=7時，S_n-15n+50的最小值為2×7²-29×7+50=-55…10

點評 本題考查等差數(shù)列和的求法，通項公式的應(yīng)用，考查計算能力．