Question

13．已知函數(shù)f（x）=lg（ax²-2x+a）．
（1）如果f（x）的定義域為R，求a的取值范圍；
（2）如果f（x）的值域為R，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把函數(shù)f（x）=lg（ax²-2x+a）的定義域為R，轉化為不等式ax²-2x+a＞0對任意實數(shù)x恒成立，然后由二次函數(shù)的開口方向及判別式列不等式組求解；
（2）函數(shù)f（x）=lg（ax²-2x+a）的值域為R，說明g（x）=ax²-2x+a能取到大于0的所有實數(shù)，再由二次函數(shù)的開口方向及判別式列不等式組求解．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=lg（ax²-2x+a）的定義域為R，說明對任意實數(shù)x，不等式ax²-2x+a＞0恒成立，
則需$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=（-2）^{2}-4{a}^{2}＜0}\end{array}\right.$，解得a＞1；
（2）函數(shù)f（x）=lg（ax²-2x+a）的值域為R，說明g（x）=ax²-2x+a能取到大于0的所有實數(shù)，
則a=0①，或$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=（-2）^{2}-4{a}^{2}≥0}\end{array}\right.$②，
解②得0＜a≤1，
∴0≤a≤1．

點評 本題考查函數(shù)的定義域和值域，考查了轉化思想方法，關鍵是對題意的理解，是中檔題．