Question

11．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AB=AA₁=2，AC=$\sqrt{2}$，過BC的中點D作平面ACB₁的垂線，交平面ACC₁A₁于E，則BE與平面ABB₁A₁所成角的正切值為（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{5}}}{5}$
• B． $\frac{{\sqrt{5}}}{10}$
• C． $\frac{{\sqrt{10}}}{10}$
• D． $\frac{{\sqrt{10}}}{5}$

Answer 1

分析 由A₁B⊥平面B₁CD可知E為A₁C的中點，作出線面角，利用勾股定理即可求出所求角的真切值．

解答 解：連結(jié)A₁C，A₁B，取A₁C的中點E，連結(jié)DE，BE，
∵AC⊥AB，AC⊥AA₁，∴AC⊥平面AA₁B₁B，∴AC⊥A₁B．
∵AB=AA₁，∴四邊形AA₁B₁B是正方形，∴A₁B⊥B₁A，
∴A₁B⊥平面B₁CD，
∵D為BC的中點，E為A₁C的中點，∴DE∥A₁B，
∴DE⊥平面B₁CD．
取A₁A的中點F，連結(jié)EF，BF，則EF⊥平面AA₁B₁B，
∴∠EBF為BE與平面ABB₁A₁所成角．
∵EF=$\frac{1}{2}AC$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，AF=$\frac{1}{2}A{A}_{1}$=1，AB=2，
∴BF=$\sqrt{5}$，∴tan∠EBF=$\frac{EF}{BF}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
故選C．

點評 本題考查了線面垂直的判定，線面角的計算，屬于中檔題．