Question

6．橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，以原點(diǎn)為圓心，橢圓C的短軸長(zhǎng)為直徑的圓與直線x-y+2=0相切．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知點(diǎn)P（0，1），Q（0，2），設(shè)M，N是橢圓C上關(guān)于y軸對(duì)稱的不同的兩點(diǎn)，直線PM與QN相交于點(diǎn)T，求證：點(diǎn)T在橢圓上．

Answer 1

分析 （1）以原點(diǎn)為圓心，橢圓C的短軸長(zhǎng)為直徑的圓與直線x-y+2=0相切，可得$\frac{2}{\sqrt{2}}$=b，解得b．又$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，解出即可得出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）設(shè)M（x₀，y₀），N（-x₀，y₀），可得直線PM的方程為：$y=\frac{{y}_{0}-1}{{x}_{0}}$x+1，直線QN的方程為：$y=\frac{{y}_{0}-2}{-{x}_{0}}$x+2，設(shè)T（x，y），聯(lián)立基礎(chǔ)代入橢圓方程即可得出．

解答 （1）解：∵以原點(diǎn)為圓心，橢圓C的短軸長(zhǎng)為直徑的圓與直線x-y+2=0相切，
∴$\frac{2}{\sqrt{2}}$=b，解得b=$\sqrt{2}$．
又$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，解得a²=8，c=$\sqrt{6}$，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
（2）證明：設(shè)M（x₀，y₀），N（-x₀，y₀），可得直線PM的方程為：$y=\frac{{y}_{0}-1}{{x}_{0}}$x+1，直線QN的方程為：$y=\frac{{y}_{0}-2}{-{x}_{0}}$x+2，
設(shè)T（x，y），聯(lián)立解得x₀=$\frac{x}{2y-3}$，y₀=$\frac{3y-4}{2y-3}$，
∵$\frac{{x}_{0}^{2}}{8}+\frac{{y}_{0}^{2}}{2}$=1，∴$\frac{1}{8}（\frac{x}{2y-3}）^{2}$+$\frac{1}{2}（\frac{3y-4}{2y-3}）^{2}$=1，
化為：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
∴點(diǎn)T在橢圓上．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、直線與圓相切性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．