Question

【題目】如圖，已知長方形中，，，M為DC的中點.將沿折起，使得平面⊥平面.

（1）求證：；

（2）若點是線段上的一動點，問點在何位置時，二面角的余弦值為.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）E為DB中點。

【解析】

試題分析：

（1）本問考查立體幾何中的折疊問題，考查學生的讀圖能力及空間想象能力，由長方形ABCD中,，所以，同理可求出，這樣可以根據(jù)數(shù)量關系證出，即，由于折疊到平面ADM⊥平面ABCM，交線為AM，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可知，由于，且平面ABM，所以平面ADM，又因為平面ADM，所以；本問主要考查面面垂直性質(zhì)定理的應用，注意定理的使用條件，注意證明的書寫格式。

（2）根據(jù)平面ADM⊥平面ABCM，交線為AM，且AD=DM，可以取AM中點O，連接DO，則DO⊥AM，根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理可知，DO⊥平面ABCM，再取AB中點N，連接ON，則ON//BM，所以ON⊥AM，可以以O為原點，OA,ON,OD所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系，如圖，求出A,M,D,B點坐標，根據(jù)E在BD上，設，求出E點坐標，然后分別求出平面AMD和平面AME的法向量，從而將二面角的余弦值表示成兩個法向量余弦值，求出的值，得到E點的位置。

試題解析：

（1）證明：∵長方形ABCD中，AB=，AD=，M為DC的中點，

∴AM=BM=2，∴BM⊥AM.

∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM平面ABCM

∴BM⊥平面ADM

∵AD平面ADM

∴AD⊥BM.

（2）建立如圖所示的直角坐標系

設，則平面AMD的一個法向量，

，

設平面AME的一個法向量 則 取y=1，得

所以，

因為，求得，

所以E為BD的中點.