【題目】如圖,已知長方形中,,,M為DC的中點.將沿折起,使得平面⊥平面.
(1)求證:;
(2)若點是線段上的一動點,問點在何位置時,二面角的余弦值為.
【答案】(1)詳見解析;(2)E為DB中點。
【解析】
試題分析:
(1)本問考查立體幾何中的折疊問題,考查學生的讀圖能力及空間想象能力,由長方形ABCD中,,所以,同理可求出,這樣可以根據(jù)數(shù)量關系證出,即,由于折疊到平面ADM⊥平面ABCM,交線為AM,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可知,由于,且平面ABM,所以平面ADM,又因為平面ADM,所以;本問主要考查面面垂直性質(zhì)定理的應用,注意定理的使用條件,注意證明的書寫格式。
(2)根據(jù)平面ADM⊥平面ABCM,交線為AM,且AD=DM,可以取AM中點O,連接DO,則DO⊥AM,根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理可知,DO⊥平面ABCM,再取AB中點N,連接ON,則ON//BM,所以ON⊥AM,可以以O為原點,OA,ON,OD所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系,如圖,求出A,M,D,B點坐標,根據(jù)E在BD上,設,求出E點坐標,然后分別求出平面AMD和平面AME的法向量,從而將二面角的余弦值表示成兩個法向量余弦值,求出的值,得到E點的位置。
試題解析:
(1)證明:∵長方形ABCD中,AB=,AD=,M為DC的中點,
∴AM=BM=2,∴BM⊥AM.
∵平面ADM⊥平面ABCM,平面ADM∩平面ABCM=AM,BM平面ABCM
∴BM⊥平面ADM
∵AD平面ADM
∴AD⊥BM.
(2)建立如圖所示的直角坐標系
設,則平面AMD的一個法向量,
,
設平面AME的一個法向量 則 取y=1,得
所以,
因為,求得,
所以E為BD的中點.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,已知橢圓的離心率為,經(jīng)過橢圓的左頂點作斜率為的直線交橢圓于點,交軸于點.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知點為線段的中點, ,并且交橢圓于點.
①是否存在定點,對于任意的都有?若存在,求出點的坐標,若不存在,請說明理由;
②求的最小值.
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【題目】設甲、乙、丙三人進行圍棋比賽,每局兩人參加,沒有平局。在一局比賽中,甲勝乙的概率為,甲勝丙的概率為,乙勝丙的概率為.比賽順序為:首先由甲和乙進行第一局的比賽,再由獲勝者與未參加比賽的選手進行第二局的比賽,依此類推,在比賽中,有選手獲勝滿兩局就取得比賽的勝利,比賽結束.
(1)求恰好進行了三局比賽,比賽就結束的概率;
(2)記從比賽開始到比賽結束所需比賽的局數(shù)為,求的概率分布列和數(shù)學期望.
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【題目】已知圓C:和直線:,點P是圓C上的一動點,直線與x軸,y軸的交點分別為點A、B。
(1)求與圓C相切且平行直線的直線方程;
(2)求面積的最大值.
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【題目】某技術公司新開發(fā)了兩種新產(chǎn)品,其質(zhì)量按測試指標劃分為:指標大于或等于82為正品,小于82為次品,現(xiàn)隨機抽取這兩種產(chǎn)品各100件進行檢測,檢測結果統(tǒng)計如下:
測試指標 | |||||
產(chǎn)品 | 8 | 12 | 40 | 32 | 8 |
產(chǎn)品 | 7 | 18 | 40 | 29 | 6 |
(1)試分別估計產(chǎn)品,產(chǎn)品為正品的概率;
(2)生產(chǎn)一件產(chǎn)品,若是正品可盈利80元,次品則虧損10元;生產(chǎn)一件產(chǎn)品,若是正品可盈利100元,次品則虧損20元,在(1)的前提下,記為生產(chǎn)1件產(chǎn)品和1件產(chǎn)品所得的總利潤,求隨機變量的分列和數(shù)學期望。
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【題目】已知曲線C上任一點P到點F(1,0)的距離比它到直線的距離少1.
(1)求曲線C的方程;
(2)過點作兩條傾斜角互補的直線與曲線C分別交于點A、B,試問:直線AB的斜率是否為定值,請說明理由.
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【題目】已知函數(shù),.
(1)若函數(shù)有且只有一個極值點,求實數(shù)的取值范圍;
(2)對于函數(shù),,,若對于區(qū)間上的任意一個,都有,則稱函數(shù)是函數(shù),在區(qū)間上的一個“分界函數(shù)”.已知,,問是否存在實數(shù),使得函數(shù)是函數(shù),在區(qū)間上的一個“分界函數(shù)”?若存在,求實數(shù)的取值范圍;若不存在,說明理由.
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