Question

8．已知函數(shù)$f（x）=\sqrt{3}sinωx•cosωx+{cos^2}ωx-\frac{1}{2}（{ω＞0}）$的圖象上兩相鄰對稱軸間的距離為$\frac{π}{4}$．
（1）求f（x）的單調遞減區(qū)間；
（2）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{8}$個單位，再將所得圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求g（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)f（x）的表達式為sin（2ωx+$\frac{π}{6}$），再根據(jù)圖象上兩相鄰對稱軸間的距離可求正周期，利用周期公式求得ω，從而求得f（x）的表達式．由2kπ+$\frac{π}{2}$≤4x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，可解得f（x）的單調遞減區(qū)間．
（2）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+∅）的圖象變換規(guī)律，可得g（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$），由正弦函數(shù)的圖象和性質即可得解．

解答 解：（1）∵$f（x）=\sqrt{3}sinωx•cosωx+{cos^2}ωx-\frac{1}{2}（{ω＞0}）$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx+$\frac{1}{2}$cos2ωx
=sin（2ωx+$\frac{π}{6}$），
∵圖象上兩相鄰對稱軸間的距離為$\frac{π}{4}$．
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{π}{2}$．
∴$\frac{2π}{2ω}$=$\frac{π}{2}$．
∴ω=2．f（x）=sin（4x+$\frac{π}{6}$），
∴由2kπ+$\frac{π}{2}$≤4x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，可解得f（x）的單調遞減區(qū)間為：[$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{12}$，$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{3}$]，k∈Z．
（2）將f（x）的圖象向右平移個$\frac{π}{8}$個單位后，得到y(tǒng)=sin（4x-$\frac{π}{3}$）的圖象，
再將所得圖象所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到y(tǒng)=sin（2x-$\frac{π}{3}$）的圖象．
所以g（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$），
因為0≤x≤$\frac{π}{2}$，
所以2x-$\frac{π}{3}$∈[$-\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]．
∴g（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
∴g（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值為1和最小值為-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，y=Asin（ωx+∅）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．