Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分別是棱A₁B₁、A₁D₁的中點，E、F分別是棱B₁C₁、C₁D₁的中點．求證：
（1）BD∥EF；
（2）BD⊥面A A₁ C₁C．
（3）平面AMN∥平面BDFE．

Answer 1

考點：平面與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連接B₁D₁，根據(jù)平行線的傳遞性即可得到BD∥EF；
（2）容易說明BD⊥AC，BD⊥AA₁，從而得到BD⊥平面AA₁C₁C；
（3）由已知條件能夠得到MN∥EF，從而MN∥平面BDFE，設(shè)AC交BD于O，A₁C₁交MN于Q，交EF于P，能夠說明AQ∥OP，從而得到AQ∥平面BDFE，這樣即可得到平面AMN∥平面BDFE．

解答： 證：（1）如圖，連接B₁D₁，由已知條件知：EF∥B₁D₁，
又BD∥B₁D₁，∴BD∥EF；
（2）由已知條件知：AA₁⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴AA₁⊥BD，即BD⊥AA₁；
又BD⊥AC，AA₁∩AC=A，
∴BD⊥平面AA₁C₁C；
（3）設(shè)AC交BD于O，A₁C₁交MN于Q，交EF于P，則PQ∥AO，且PQ=AO，
∴四邊形AOPQ是平行四邊形，
∴AQ∥OP，OP?平面BDFE；
∴AQ∥平面BDFE，
又MN∥EF，EF?平面BDFE，
∴MN∥平面BDFE，MN∩AQ=Q；
∴平面AMN∥平面BDFE．

點評：考查平行線的傳遞性，線面垂直的性質(zhì)及判定定理，線面平行的判定定理，面面平行的判定定理．