2.用數(shù)學(xué)歸納法證明:1+$\frac{n}{2}$≤1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+$…+$\frac{1}{{2}^{n}}$≤$\frac{1}{2}+n$(n是正整數(shù))

分析 利用數(shù)學(xué)歸納法分兩步證明即可,①當(dāng)n=1時,易證不等式成立;②假設(shè)n=k(k≥1,k∈N*)時,不等式成立,即即1+$\frac{k}{2}$≤1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}}$≤$\frac{1}{2}$+k,通過放縮法,去證明當(dāng)n=k+1時,不等式也成立即可.

解答 證明:①當(dāng)n=1時,1+$\frac{1}{2}$≤1+$\frac{1}{2}$≤$\frac{1}{2}$+1,不等式成立;
②假設(shè)n=k(k≥1,k∈N*)時,不等式成立,即1+$\frac{k}{2}$≤1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}}$≤$\frac{1}{2}$+k,
則n=k+1時,
1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}}$+$\frac{1}{{2}^{k}+1}$+$\frac{1}{{2}^{k}+2}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}+{2}^{k}}$≥1+$\frac{k}{2}$+$\frac{1}{{2}^{k}+1}$+$\frac{1}{{2}^{k}+2}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}+{2}^{k}}$
>1+$\frac{k}{2}$+$\underset{\underbrace{\frac{1}{{2}^{k}+{2}^{k}}+\frac{1}{{2}^{k}+{2}^{k}}+…+\frac{1}{{2}^{k}+{2}^{k}}}}{{2}^{k}}$,
>1+$\frac{k}{2}$+${2}^{k}•\frac{1}{{2}^{k+1}}$,
=1+$\frac{k+1}{2}$
又1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}}$+$\frac{1}{{2}^{k}+1}$+$\frac{1}{{2}^{k}+2}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}+{2}^{k}}$<$\frac{1}{2}$+k+$\underset{\underbrace{\frac{1}{{2}^{k}}+\frac{1}{{2}^{k}}+…+\frac{1}{{2}^{k}}}}{{2}^{k}}$,
<$\frac{1}{2}$+k+${2}^{k}•\frac{1}{{2}^{k}}$=$\frac{1}{2}$+(k+1),
即n=k+1時也成立,
綜合①②可知,對任意的n∈N*,1+$\frac{n}{2}$≤1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+$…+$\frac{1}{{2}^{n}}$≤$\frac{1}{2}+n$.

點(diǎn)評 本題考查數(shù)學(xué)歸納法,著重考查放縮法的應(yīng)用,考查轉(zhuǎn)化思想與推理論證的能力,屬于難題.

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