Question

6．橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的一個(gè)焦點(diǎn)F₁（-2，0），右準(zhǔn)線方程x=8．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若M為右準(zhǔn)線上的一點(diǎn)，A為橢圓C的左頂點(diǎn)，連接AM交橢圓于點(diǎn)P，求$\frac{PM}{AP}$的取值范圍；
（3）若點(diǎn)A，B分別是橢圓E的左、右頂點(diǎn)，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)B且垂直于x軸，點(diǎn)Q是橢圓上異于A，B的任意一點(diǎn)，直線AQ交l于點(diǎn)M．設(shè)直線OM的斜率為k₁，直線BQ的斜率為k₂，求證：k₁k₂為定值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得c=2，$\frac{{a}^{2}}{c}$=8，結(jié)合a，b，c的關(guān)系，可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）設(shè)P（x₀，y₀），-4＜x₀≤4，運(yùn)用$\frac{PM}{AP}=\frac{{|8-{x_0}|}}{{|{x_0}+4|}}=\frac{{8-{x_0}}}{{{x_0}+4}}=\frac{12}{{{x_0}+4}}-1$，計(jì)算即可得到所求值；
（3）設(shè)Q（x₀，y₀），代入橢圓方程，求得AQ的方程，令x=4，求得M的坐標(biāo)，運(yùn)用直線的斜率公式，化簡(jiǎn)整理，即可得到定值．

解答 解：（1）由題意：$c=2，\frac{a^2}{c}=8⇒{a^2}=16，{b^2}=12$，
所以：橢圓方程為$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$；
（2）由題意：A（-4，0），P（x₀，y₀），-4＜x₀≤4，
且$\frac{PM}{AP}=\frac{{|8-{x_0}|}}{{|{x_0}+4|}}=\frac{{8-{x_0}}}{{{x_0}+4}}=\frac{12}{{{x_0}+4}}-1$，
∴$0＜{x_0}+4＜8⇒\frac{12}{{{x_0}+4}}≥\frac{12}{8}=\frac{3}{2}⇒\frac{PM}{AP}≥\frac{1}{2}$；
（3）證明：設(shè)Q（x₀，y₀），則$\frac{{{x_0}^2}}{16}+\frac{{{y_0}^2}}{12}=1$，
則AQ方程為：y₀x-（4+x₀）y+4y₀=0，
令x=4得：$y=\frac{{8{y_0}}}{{{x_0}+4}}$，
則$M（4，\frac{{8{y_0}}}{{{x_0}+4}}）$，${k_1}=\frac{{2{y_0}}}{{{x_0}+4}}$，${k_2}=\frac{y_0}{{{x_0}-4}}$，
則${k_1}{k_2}=\frac{{2{y_0}^2}}{{{x_0}^2-16}}=\frac{{2（12-\frac{3}{4}{x_0}^2）}}{{{x_0}^2-16}}=\frac{{-2×\frac{3}{4}（{x_0}^2-16）}}{{{x_0}^2-16}}=-\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查直線的斜率公式和直線方程的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．