Question

3．如圖，已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，橢圓C與圓C′：（x-2）²+y²=1有且僅有A，B兩個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)都在圓C′的左方，相交所得的弦AB長(zhǎng)為$\frac{2\sqrt{5}}{3}$
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若過(guò)（1，0）的直線與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，求$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)點(diǎn)A（x₀，y₀），（x₀＞0，y₀＞0），由已知推導(dǎo)出|C′E|=2-x₀，x₀∈（1，2），由弦長(zhǎng)公式，得|AE|²+|C′E|²=|AC′|²，從而A（$\frac{4}{3}，\frac{\sqrt{5}}{3}$），代入橢圓，由橢圓C的離心率，能求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）當(dāng)過(guò)點(diǎn)（1，0）的直線為y=0時(shí)，$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=-4，當(dāng)過(guò)點(diǎn)（1，0）的直線不為y=0時(shí)，設(shè)為x=ty，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{x=ty+1}\end{array}\right.$，得（t²+4）y²+2ty-3=0，由根與系數(shù)的關(guān)系，得$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=x₁x₂+y₁y₂=-4+$\frac{17}{{t}^{2}+4}$，由△＞0恒成立，由此能求出$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$的最大值．

解答 解：（1）如圖，設(shè)點(diǎn)A（x₀，y₀），（x₀＞0，y₀＞0）
弦與x軸的交點(diǎn)為E，則|C′E|=2-x₀，
∵交點(diǎn)都在圓心C′的左方，∴x₀∈（1，2），
由弦長(zhǎng)公式，得|AE|²+|C′E|²=|AC′|²，
∴（$\frac{\sqrt{5}}{3}$）²+（2-x₀）²=1²，
解得${x}_{0}=\frac{8}{3}$（舍），或${x}_{0}=\frac{4}{3}$．
將${x}_{0}=\frac{4}{3}$代入圓C′：（x-2）²+y²=1中，解得${y}_{0}=\frac{\sqrt{5}}{3}$，則A（$\frac{4}{3}，\frac{\sqrt{5}}{3}$），
將點(diǎn)A（$\frac{4}{3}$，$\frac{\sqrt{5}}{3}$）代入橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
得$\frac{16}{9{a}^{2}}+\frac{5}{9^{2}}=1$，①
設(shè)橢圓C的半焦距為c，則由橢圓C的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，得$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，②
且a²=b²+c²，③
由①②③，解得a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（Ⅱ）當(dāng)過(guò)點(diǎn)（1，0）的直線為y=0時(shí)，$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=（2，0）•（-2，0）=-4，
當(dāng)過(guò)點(diǎn)（1，0）的直線不為y=0時(shí)，設(shè)為x=ty，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{x=ty+1}\end{array}\right.$，化簡(jiǎn)，得（t²+4）y²+2ty-3=0，
由根與系數(shù)的關(guān)系得${y}_{1}+{y}_{2}=-\frac{2t}{{t}^{2}+4}$，${y}_{1}{y}_{2}=-\frac{3}{{t}^{2}+4}$，
∴$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=x₁x₂+y₁y₂=（ty₁+1）（ty₂+1）+y₁y₂
=（t²+1）y₁y₂+t（y₁+y₂）+1
=（t²+1）•$\frac{-3}{{t}^{2}+4}$+t•$\frac{-2t}{{t}^{2}+4}$+1
=$\frac{-4{t}^{2}+1}{{t}^{2}+4}$=$\frac{-4（{t}^{2}+4）+17}{{t}^{2}+4}$=-4+$\frac{17}{{t}^{2}+4}$，
又由△=4t²+12（t²+4）=16t²+48＞0恒成立，∴t∈R，
對(duì)于上式，當(dāng)t=0時(shí)，（$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$）_max=$\frac{1}{4}$，
∴$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$的最大值為$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查向量的數(shù)量積的最大值的求法，注意弦長(zhǎng)公式、根與系數(shù)的關(guān)系的合理運(yùn)用．