Question

13．已知數(shù)列{a_n}，{b_n}滿足：a₁=-1，b₁=2，a_n+1=-b_n，b_n+1=2a_n-3b_n（n∈N^*），則b₂₀₁₅+b₂₀₁₆=-3•2²⁰¹⁵．

Answer 1

分析 由已知結(jié)合數(shù)列遞推式可得{b_n+1+b_n}是以-6為首項(xiàng)，以-2為公比的等比數(shù)列，求出其通項(xiàng)公式后即可求得b₂₀₁₅+b₂₀₁₆的值．

解答 解：由a_n+1=-b_n，得a_n=-b_n-1（n≥2），
∴b_n+1=-2b_n-1-3b_n，即b_n+1+b_n=-2（b_n+b_n-1），
又a₁=-1，b₁=2，b_n+1=2a_n-3b_n，
∴b₂=2a₁-3b₁=2×（-1）-3×2=-8，
則b₁+b₂=2-8=-6≠0，
∴{b_n+1+b_n}是以-6為首項(xiàng)，以-2為公比的等比數(shù)列，
則$_{n+1}+_{n}=-6•（-2）^{n-1}$，
則b₂₀₁₅+b₂₀₁₆=-6•（-2）²⁰¹⁴=-3•2²⁰¹⁵．
故答案為：-3•2²⁰¹⁵．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，是中檔題．