Question

（2009•嘉定區(qū)二模）設等比數(shù)列{a_n}的首項a₁=1，前n項和為S_n，公比q=

λ

1+λ

（λ≠-1且λ≠0）．
（1）證明：S_n=（1+λ）-λa_n；
（2）設f(x)=

x

1+x

，數(shù)列{b_n}滿足b₁=f（1），b_n=f（b_n-1）（n∈N*且n≥2），求數(shù)列{b_n}的通項公式及

lim

n→∞

1

n2

(

1

b1

+

1

b2

+…

1

bn

)的值．

Answer 1

分析：（1）由已知q≠0且q≠1，利用等比數(shù)列的通項公式可得an=(

λ

1+λ

)n-1，利用等比數(shù)列的求和公式可證
（2）由bn=

bn-1

1+bn-1

，可得

1

bn

=

1

bn-1

+1，從而可得{

1

bn

}是等差數(shù)列，從而可求b_n，利用等差數(shù)列的求和公式可求

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

=2+3+…+(n+1)=

n2+3n

2

，從而可求極限

解答：證明：（1）由已知q≠0且q≠1，所以an=(

λ

1+λ

)n-1（n∈N*），…（1分）
所以Sn=

a1(1-qn)

1-q

=

1-( λ 1+λ )n

1- λ 1+λ

=(1+λ)[1-(

λ

1+λ

)n]=(1+λ)-λ(

λ

1+λ

)n-1，（5分）
即S_n=（1+λ）-λa_n．…（6分）
（2）由已知b1=

1

2

，bn=

bn-1

1+bn-1

，所以

1

bn

=

1

bn-1

+1，…（8分）
所以，{

1

bn

}是首項為2，公差為1的等差數(shù)列，

1

bn

=2+(n-1)=n+1，…（9分）
所以數(shù)列{b_n}的通項公式為bn=

1

n+1

．…（10分）
所以

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

=2+3+…+(n+1)=

n2+3n

2

，…（12分）
所以

lim

n→∞

1

n2

(

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

)=

lim

n→∞

n2+3n

2n2

=

1

2

．…（14分）

點評：本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式及等比數(shù)列的求和公式的應用，利用遞推公式構造等差數(shù)列，及等差數(shù)列的求和公式等知識的綜合應用，屬于公式的綜合運用．