Question

4．如圖，⊙O的半徑OC垂直于直徑AB，M為BO上一點(diǎn)，CM的延長(zhǎng)線交⊙O于N，過(guò)N點(diǎn)的切線交AB的延長(zhǎng)線于P．
（1）求證：PM²=PB•PA；
（2）若⊙O的半徑為2$\sqrt{3}$，OB=$\sqrt{3}$OM，求MN的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)ON，運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)和圓的切割線定理，即可得到PM²=PB•PA；
（2）在Rt△COM中，由勾股定理可得CM，求得BM，AM，根據(jù)相交弦定理可得：MN•CM=BM•AM，代入計(jì)算即可得到MN的長(zhǎng)．

解答 解：（1）證明：連結(jié)ON，則ON⊥PN，
且△OCN為等腰三角形，則∠OCN=∠ONC，
∵∠PMN=∠OMC=90°-∠OCN，∠PNM=90°-∠ONC，
∴∠PMN=∠PNM，
∴PM=PN，
由條件，根據(jù)切割線定理，有PN²=PB•PA，
所以PM²=PB•PA，
（2）OM=2，半徑為2$\sqrt{3}$，
在Rt△COM中，$CM=\sqrt{O{C^2}+O{M^2}}=4$．
$BM=OB-OM=2\sqrt{3}-2$，
$AM=OA+OM=2\sqrt{3}+2$，
根據(jù)相交弦定理可得：MN•CM=BM•AM，
可得MN=$\frac{BM•AM}{CM}$=$\frac{（2\sqrt{3}-2）×（2\sqrt{3}+2）}{4}$=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的切割線定理、相交弦定理和勾股定理，以及等腰三角形的性質(zhì)，考查推理和運(yùn)算能力，屬于中檔題．