Question

17．已知函數(shù)f（x）在定義域R上單調(diào)遞減，且函數(shù)y=f（x-1）的圖象關(guān)于點(diǎn)A（1，0）對(duì)稱(chēng)．若實(shí)數(shù)t滿足f（t²-2t）+f（-3）＞0，則$\frac{t-1}{t-3}$的取值范圍是 （　　）

• A． （$\frac{1}{2}$，+∞）
• B． （-∞，$\frac{1}{2}$）
• C． （0，$\frac{2}{3}$）
• D． （$\frac{1}{2}$，1）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 判斷函數(shù)的奇偶性，利用函數(shù)的單調(diào)性求出t的范圍，化簡(jiǎn)$\frac{t-1}{t-3}$，利用函數(shù)的單調(diào)性求解最值即可．

解答 解：因?yàn)閥=f（x-1）的圖象關(guān)于點(diǎn)A（1，0）對(duì)稱(chēng)，則y=f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
即f（x）為奇函數(shù)．
由f（t²-2t）+f（-3）＞0，得f（t²-2t）＞-f（-3）=f（3），
因?yàn)閒（x）在R上是減函數(shù)，
則t²-2t＜3，即t²-2t-3＜0，得-1＜t＜3．
因?yàn)閥=$\frac{t-1}{t-3}$=1+$\frac{2}{t-3}$；在區(qū)間（-1，3）上是減函數(shù)，則$\frac{t-1}{t-3}$$＜\frac{1}{2}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，抽象函數(shù)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．