Question

5．已知函數(shù)f（x）=x³+|ax-3|-2，a＞0．
（1）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當a∈（0，5）時，對于任意x₁∈[0，1]，總存在x₂∈[0，1]，使得f（x₁）+f（x₂）=0，求實數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）討論當x≥$\frac{3}{a}$時，去掉絕對值，求出導數(shù)；當x＜$\frac{3}{a}$時，去掉絕對值，求出導數(shù)，討論當0＜a≤1時，當1＜a≤3時，當a＞3時，由導數(shù)大于0，可得增區(qū)間，導數(shù)小于0，可得減區(qū)間；
（2）由題意可得f（0）+f（1）=0，求得a的值，去掉絕對值，畫出f（x）在[0，1]的圖象，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）當x≥$\frac{3}{a}$時，f（x）=x³+ax-5，
由a＞0，f′（x）=3x²+a＞0，可得f（x）在[$\frac{3}{a}$，+∞）遞增；
當x＜$\frac{3}{a}$時，f（x）=x³-ax+1，
由a＞0，f′（x）=3x²-a，
由f′（x）＞0，可得x＞$\sqrt{\frac{a}{3}}$或x＜-$\sqrt{\frac{a}{3}}$；
由f′（x）＜0，可得-$\sqrt{\frac{a}{3}}$＜x＜$\sqrt{\frac{a}{3}}$．
當0＜a≤1時，$\sqrt{\frac{a}{3}}$≤$\frac{3}{a}$，f（x）在（$\sqrt{\frac{a}{3}}$，$\frac{3}{a}$），（-∞，-$\sqrt{\frac{a}{3}}$）遞增；
在（-$\sqrt{\frac{a}{3}}$，$\sqrt{\frac{a}{3}}$）遞減；
當a＞1時，$\sqrt{\frac{a}{3}}$＞$\frac{3}{a}$，f（x）在（-∞，-$\sqrt{\frac{a}{3}}$）遞增；
在（-$\sqrt{\frac{a}{3}}$，$\frac{3}{a}$）遞減；
綜上可得，當0＜a≤1時，f（x）的增區(qū)間為（-∞，-$\sqrt{\frac{a}{3}}$），（$\sqrt{\frac{a}{3}}$，+∞），
減區(qū)間為（-$\sqrt{\frac{a}{3}}$，$\sqrt{\frac{a}{3}}$）；
當1＜a≤3時，f（x）的增區(qū)間為（-∞，-$\sqrt{\frac{a}{3}}$），[$\sqrt{\frac{a}{3}}$，+∞），
減區(qū)間為（-$\sqrt{\frac{a}{3}}$，$\sqrt{\frac{a}{3}}$）；
當a＞3時，f（x）的增區(qū)間為（-∞，-$\sqrt{\frac{a}{3}}$），[$\frac{3}{a}$，+∞），
減區(qū)間為（-$\sqrt{\frac{a}{3}}$，$\frac{3}{a}$）；
（2）當a∈（0，5）時，對于任意x₁∈[0，1]，
總存在x₂∈[0，1]，使得f（x₁）+f（x₂）=0，
由f（0）=1，結(jié)合圖象可得f（1）=1+|a-3|-2=-1，
解得a=3．
當a=3時，f（x）=x³+|3x-3|-2，
當x∈[0，1]時，f（x）=x³-3x+1，
f′（x）=3x²-3≤0，f（x）遞減，則f（x）∈[-1，0]，且與x軸有一個交點，
故a=3成立．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求單調(diào)區(qū)間，注意運用分類討論思想方法，考查任意性和存在性問題的解法，注意結(jié)合圖象，考查運算能力，有一定難度．