Question

13．在數列{a_n}中，a₁=2，a₆=64，a_na_n+2=a_n+1²（n∈N^*），把數列的各項按如下方法進行分組：（a₁），（a₂，a₃，a₄），（a₅，a₆，a₇，a₈，a₉），…，記A（m，n）為第m組的第n個數（從前到后），則當m≥3時，A（m，1）+A（m，2）+…+A（m，n）的值為${2}^{（m-1）^{2}}$•（2ⁿ⁺¹-2）（用含m的式子表示）．

Answer 1

分析 根據條件判斷數列{a_n}是以2為首項，公比為2的等比數列，結合等比數列的前n項和公式進行求解即可．

解答 解：∵a₁=2，a₆=32，a_na_n+2=a_n+1²，
∴數列{a_n}是以2為首項，公比為2的等比數列
∴a_n=2ⁿ，
則第m-1組的最后一個數為${a}_{{（m-1）}^{2}}$=${2}^{（m-1）^{2}}$，
則第m組的第一個數${a}_{（m-1）^{2}+1}$=${2}^{（m-1）^{2}+1}$，
則當m≥3時，A（m，1），A（m，2），…A（m，n）構成以${a}_{（m-1）^{2}+1}$=${2}^{（m-1）^{2}+1}$為首項，公比q=2的等比數列，
則當m≥3時，A（m，1）+A（m，2）+…+A（m，n）
=${2}^{（m-1）^{2}+1}$$•\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$=${2}^{（m-1）^{2}}$•2×（2ⁿ-1）
=${2}^{（m-1）^{2}}$•（2ⁿ⁺¹-2）．
故答案為：${2}^{（m-1）^{2}}$•（2ⁿ⁺¹-2）．

點評 本題主要考查數列的遞推公式的應用，根據條件判斷數列是等比數列以及利用等比數列的前n項和公式是解決本題的關鍵．考查學生的運算和推理能力．