Question

8．函數(shù)f（x）=ax²-2x+1，若y=f（x）在區(qū)間[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]上有零點，則實數(shù)a的取值范圍為（-∞，0]．

Answer 1

分析 對函數(shù)類型及零點個數(shù)進行討論，列方程或不等式解出．

解答 解：（1）當a=0時，f（x）=-2x+1，∴f（x）的零點為x=$\frac{1}{2}$，符合題意；
（2）當a≠0時，f（x）為二次函數(shù)，△=4-4a，
①若△=0，則a=1，此時f（x）=x²-2x+1=（x-1）²，∴f（x）的零點為x=1，不符合題意，
②若△＞0，即a＜1，（i）若f（x）的零點為x=-$\frac{1}{2}$，或x=$\frac{1}{2}$，則f（-$\frac{1}{2}$）=0，或f（$\frac{1}{2}$）=0，∴$\frac{a}{4}+2=0$，或$\frac{a}{4}=0$，解得a=-8．
（ii）若f（x）在（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）上只有一個零點，則f（-$\frac{1}{2}$）•f（$\frac{1}{2}$）＜0，∴（$\frac{a}{4}+2$）•$\frac{a}{4}$＜0，解得-8＜a＜0．
（iii）若f（x）在[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]上有兩個零點，則$\left\{\begin{array}{l}{f（-\frac{1}{2}）≥0}\\{f（\frac{1}{2}）≥0}\\{-\frac{1}{2}＜\frac{1}{a}＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{f（-\frac{1}{2}）≤0}\\{f（\frac{1}{2}）≤0}\\{-\frac{1}{2}＜\frac{1}{a}＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{4}+2≥0}\\{\frac{a}{4}≥0}\\{-\frac{1}{2}＜\frac{1}{a}＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{4}+2≤0}\\{\frac{a}{4}≤0}\\{-\frac{1}{2}＜\frac{1}{a}＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$．
解得a≥2（舍去），或a≤-8．
綜上，a的取值范圍是（-∞，0]．
故答案為（-∞，0]．

點評 本題考查了二次函數(shù)的零點與系數(shù)的關系，分類討論是常用解題方法．