Question

13．已知曲線C的方程為kx²+（4-k）y²=k+1（k∈R）．
（1）若曲線C是橢圓，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）若曲線C是雙曲線，且有一條漸近線的傾斜角為$\frac{π}{3}$，求此雙曲線的方程．

Answer 1

分析 （1）將曲線C的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，由橢圓方程可得k的不等式，解不等式即可得到所求范圍；
（2）求得雙曲線的漸近線方程為y=±$\sqrt{3}$x，即為y²-3x²=0，再由曲線C的方程，將右邊的k+1換為0，可得漸近線方程，即有k的方程，解方程可得k，進(jìn)而得到所求雙曲線的方程．

解答 解：（1）曲線C的方程為kx²+（4-k）y²=k+1，即為$\frac{{x}^{2}}{\frac{k+1}{k}}$+$\frac{{y}^{2}}{\frac{k+1}{4-k}}$=1，
若曲線C是橢圓，即有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{k+1}{k}＞0}\\{\frac{k+1}{4-k}＞0}\\{\frac{k+1}{k}≠\frac{k+1}{4-k}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{k＞0，或k＜-1}\\{-1＜k＜4}\\{k≠-1，k≠2，k≠0，k≠4}\end{array}\right.$，
解得0＜k＜2或2＜k＜4；
（2）若曲線C是雙曲線，
即有漸近線方程為kx²+（4-k）y²=0，
由一條漸近線的傾斜角為$\frac{π}{3}$，可得
漸近線方程為y=±$\sqrt{3}$x，即為y²-3x²=0，
又y²+$\frac{k}{4-k}$x²=0，
則有$\frac{k}{4-k}$=-3，解得k=6．
則曲線C的方程為6x²-2y²=7，即為$\frac{6}{7}$x²-$\frac{2}{7}$y²=1．

點(diǎn)評 本題考查橢圓和雙曲線的方程和性質(zhì)，考查漸近線方程的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．