Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{e}^{x}-2\\（1-2a）x+2a\end{array}\right.\begin{array}{c}x≤0\\，x＞0\end{array}\right.$對(duì)任意x₁≠x₂，都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＞0成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．[$-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 根據(jù)已知條件便知函數(shù)f（x）在R上為增函數(shù)，從而x≤0，和x＞0時(shí)，f（x）都應(yīng)為增函數(shù)，從而得到$a＜\frac{1}{2}$，并且有e⁰-2a≤（1-2a）•0+2a，從而1-2a≤2a，解該不等式與前面a的范圍求交集即可得出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：由題意知函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增；
∴f（x）的兩段函數(shù)在各自區(qū)間上單調(diào)遞增；
∴1-2a＞0，即$a＜\frac{1}{2}$；
又e⁰-2≤（1-2a）•0+2a；
∴-1≤2a；
∴$a≥-\frac{1}{2}$；
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[$-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$）．
故答案為：[$-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 考查增函數(shù)的定義，分段函數(shù)的單調(diào)性的判斷方法，以及指數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)的單調(diào)性，要掌握分段函數(shù)為單調(diào)函數(shù)時(shí)應(yīng)滿足的條件．