14.已知{an}為等差數(shù)列,且滿足a1+a3=8,a2+a4=12.
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)記{an}的前n項和為Sn,若a3,ak+1,Sk成等比數(shù)列,求正整數(shù)k的值.

分析 (Ⅰ)由題意可得首項和公差的方程組,解方程組可得通項公式;
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得Sn,進(jìn)而可得a3,ak+1,Sk,由等比數(shù)列可得k的方程,解方程即可.

解答 解:(Ⅰ)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,
由題意可得$\left\{{\begin{array}{l}{2{a_1}+2d=8}\\{2{a_1}+4d=12}\end{array}}\right.$,
解方程組可得a1=2,d=2,
∴an=2+2(n-1)=2n;
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得${S_n}=\frac{{({a_1}+{a_n})n}}{2}=\frac{(2+2n)n}{2}=n(1+n)={n^2}+n$,
∴a3=2×3=6,ak+1=2(k+1),${S_k}={k^2}+k$,
∵a3,ak+1,Sk成等比數(shù)列,∴$a_{k+1}^2={a_3}{S_k}$,
∴(2k+2)2=6(k2+k),
化簡可得k2-k-2=0,
解得k=2或k=-1,
∵k∈N*,∴k=2

點評 本題考查等差數(shù)列的通項公式和求和公式,涉及等比數(shù)列的通項公式,屬中檔題.

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