Question

1．用0，1，2，3，4，5這六個數(shù)字組成無重復數(shù)字的正整數(shù)．
（1）共有多少個四位數(shù)？其中偶數(shù)有多少個？
（2）比4301大的四位數(shù)有多少個？
（3））求所有這些四位數(shù)之和． 
 注：以上結果均用數(shù)字作答．

Answer 1

分析 （1）先安排首位的數(shù)字，從五個非0數(shù)字中選一個，共有C₅¹種結果，余下的五個數(shù)字在三個位置進行全排列，共有A₅³種結果，根據(jù)乘法原理得到結果．用0，1，2，3，4，5六個數(shù)字組成沒有重復數(shù)字的四位偶數(shù)，則0不能排在首位，末位必須為0，2，4其中之一．屬于有限制的排列問題，且限制有兩個，即首位和末位，所以，先分兩類．第一類，末位排0．第二類，末位不排0，分別求出排法，再相加即可．
（2）當首位是5時，其他幾個數(shù)字在三個位置上排列，當首位是4時，第二位是5．后兩位沒有限制，當前兩位是43時，分別寫出結果數(shù)（注意減去4301），相加得到結果，
（3）分別計算，千位，百位，十位，個位，然后相加即可．

解答 解：（1）由題意知，因為數(shù)字中有0，0不能放在首位，
∴先安排首位的數(shù)字，從五個非0數(shù)字中選一個，共有C₅¹種結果，
余下的五個數(shù)字在三個位置進行全排列，共有A₅³種結果，
根據(jù)分步計數(shù)原理知共有A¹₅•A³₅=300；
用0，1，2，3，4，5六個數(shù)字組成沒有重復數(shù)字的四位偶數(shù)，則0不能排在首位，末位必須為0，2，4其中之一．
所以可分兩類，末位為0，則其它位沒限制，從剩下的5個數(shù)中任取3個，再進行排列即可，共有A₅³=60個
第二類，末位不排0，又需分步，第一步，從2或4中選一個來排末位，有C₂¹=2種選法，
第二步排首位，首位不能排0，從剩下的4個數(shù)中選1個，有4種選法，
第三步，排2，3位，沒有限制，從剩下的4個數(shù)中任取2個，再進行排列即可，共有12種．
把三步相乘，共有2×4×12=96個
最后，兩類相加，共有60+96=156個
（2）當首位是5時，其他幾個數(shù)字在三個位置上排列，共有A₅³=60，
當前兩位是45時，共有A₄²=4×3=12個，
當前兩位是43時，共有A₄²=4×3=12個，去掉4301即可，即有12-1=11個．
根據(jù)分類加法原理得到共有：60+12+12-1=83個
（3）（1+2+3+4+5）×A₅³×10³+（1+2+3+4+5）×C₄¹A₄²×（10²+10+1）=15×65328=979920

點評 本題是考查排列組合問題，是一個綜合題，包括數(shù)字問題中可能遇到的所有情況，同學們注意分析問題，加以比較，爭取做到舉一反三．