Question

1．有下列命題：
①$y=cos（x-\frac{π}{4}）cos（x+\frac{π}{4}）$的圖象關于直線x=$\frac{π}{2}$對稱；
②y=$\frac{x+3}{x-1}$的圖象關于點（-1，1）對稱；
③關于x的方程ax²-2ax-1=0有且僅有一個實根，則a=-1；
④滿足條件AC=$\sqrt{3}$，∠B=60°，AB=1的三角形△ABC有兩個．
其中真命題的序號是①③．

Answer 1

分析 利用積化和差公式化簡函數(shù)解析式，進而分析其對稱性，可判斷①；求出函數(shù)的對稱中心，可判斷②；根據(jù)一元二次方程根的個數(shù)與系數(shù)的有關系，求出a值，可判斷③；利用正弦定理，判斷三角形解的個數(shù)，可判斷④．

解答 解：①$y=cos（x-\frac{π}{4}）cos（x+\frac{π}{4}）$=$\frac{1}{2}${$cos[（x-\frac{π}{4}）+（x+\frac{π}{4}）]$+$cos[（x-\frac{π}{4}）-（x+\frac{π}{4}）]$}=$\frac{1}{2}$cos2x，
當x=$\frac{π}{2}$時，y取最小值，故函數(shù)圖象關于直線x=$\frac{π}{2}$對稱，故①正確；
函數(shù)y=$\frac{x+3}{x-1}$=$\frac{4}{x-1}$+1的圖象由函數(shù)y=$\frac{4}{x}$的圖象向右平移一個單位，再向上平移一個單位得到，
函數(shù)y=$\frac{4}{x}$的圖關于點（0，0）對稱，故函數(shù)y=$\frac{x+3}{x-1}$的圖象關于點（1，1）對稱，故②錯誤；
關于x的方程ax²-2ax-1=0有且僅有一個實根，則$\left\{\begin{array}{l}△=4{a}^{2}+4a=0\\ a≠0\end{array}\right.$，即a=-1，故③正確；
滿足條件AC=$\sqrt{3}$，∠B=60°，AB=1的三角形△ABC有且只有一個，故④錯誤；
故正確的命題的序號為：①③，
故答案為：①③

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了函數(shù)的對稱性，函數(shù)圖象的平移變換，正弦定理，積化和差公式，難度中檔．