Question

19．求證：sinx＞x-$\frac{x^3}{6}$，x∈（0，$\frac{π}{2}$）．

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)f（x）=sinx-x+$\frac{x^3}{6}$，x∈（0，$\frac{π}{2}$）．證明f（x）=sinx-x+$\frac{x^3}{6}$是單增函數(shù)，即可證明結(jié)論．

解答 解：令f（x）=sinx-x+$\frac{x^3}{6}$，x∈（0，$\frac{π}{2}$）．f（0）=0．--（2分）
f′（x）=cosx-1+$\frac{1}{2}{x}^{2}$，f″（x）=-sinx+x．--（4分）
由三角不等式sinx＜x，x∈（0，$\frac{π}{2}$），f″（x）＞0．--（6分）
所以f′（x）是單調(diào)遞增的，又f′（0）=0，
所以f′（x）＞0恒成立，
所以f（x）=sinx-x+$\frac{x^3}{6}$是單增函數(shù)，
所以f（x）＞f（0）=0--（8分）
即：sinx＞x-$\frac{x^3}{6}$，x∈（0，$\frac{π}{2}$）．--（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，正確構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵．